¿Qué son? Variaciones sin repetición o variaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n (de orden n)son los distintos grupos de n elementos distintos que se pueden hacer con los m elementos que tenemos, de forma que dos grupos se diferencian en algún elemento o en el orden de colocación. Se representa por V_m,n. (n≤m).

          ¿Cómo se forman?. Para construir las variaciones sin repetición, partimos del conjunto A={1,2,3,4} y vamos a construir todas las variaciones sin repetición posibles.

          De un elemento. Si tenemos un conjunto de cuatro elementos y queremos hacer grupos de uno, únicamente podremos hacer cuatro grupos: 1 , 2 , 3 , 4.

          De tres elementos. Las obtenemos a partir de las anteriores, añadiendo a cada una de ellas los dos elementos que faltan. Se obtienen: 123 , 124 , 132 , 134 , 142 , 143 , 213 , 214 , 231 , 234 , 241 , 243 , 312 , 314 , 321 , 324 , 341 , 342 , 412 , 413 , 421 , 423 , 431 , 432.

          De cuatro elementos. Se obtienen a partir de las de orden tres, añadiendo a cada una de ellas el elemento que falta. Se obtienen: 1234 , 1243 , 1324 , 1342 , 1423 , 1432 , 2134 , 2143 , 2314 , 2341 , 2413 , 2431 , 3124 , 3142 , 3214 , 3241 , 3412 , 3421 , 4123 , 4132 , 4213 , 4231 , 4312 , 4321.

          Como estamos construyendo variaciones sin repetición y los elementos no se pueden repetir, ya no podemos continuar construyendo variaciones de orden cinco.

          Al estar trabajando con cuatro elementos nada más, la formación de variaciones ordinarias resulta relativamente fácil, pero se puede hacer más fácil todavía utilizando para la construcción el diagrama de árbol, como se puede comprobar con la siguiente escena.

          ¿Cuántas hay?. Siguiendo la construcción ordenada que se ha realizado, es fácil deducir una fórmula para obtener el número de variaciones ordinarias o sin repetición:

          A partir de estas fórmulas es fácil observar que para calcular el número de variaciones sin repetición V_m,n, se realiza un producto de factores consecutivos en orden decreciente empezando por m y colocando un número de factores igual a n.

          La siguiente escena se puede utilizar para calcular el número de variaciones sin repetición para cualquier valor de m y n.

          Con esta otra escena se pueden construir las variaciones sin repetición de hasta orden cinco con un conjunto de hasta nueve elementos.

          En esta última escena puedes realizar algunos ejercicios de aplicación de variaciones sin repetición.

Hoja de trabajo