¿Qué son? Combinaciones con repetición de m elementos tomados de n en n son los distintos grupos de n elementos iguales o distintos que se pueden hacer con los m elementos que tenemos, de forma que dos grupos se diferencian en algún elemento y no en el orden de colocación. Se representa por CR_m,n.

          ¿Cómo se forman?. Para construir las combinaciones con repetición, partimos del conjunto A={1,2,3,4} y vamos a construir todas las combinaciones con repetición posibles.

          De un elemento. Si tenemos un conjunto de cuatro elementos y queremos hacer grupos de uno, únicamente podremos hacer cuatro grupos: 1 , 2 , 3 , 4.

          De dos elementos. La forma de construirlas será similar a las combinaciones sin repetición aunque con la diferencia de que al permitirse repetir los elementos tendremos que añadir a cada una de las de orden uno, el mismo elemento y todos los siguientes. Así se obtienen: 11 , 12 , 13 , 14 , 22 , 23, 24 , 33 , 34 , 44.

          De tres elementos. Se pueden construir a partir de las anteriores añadiendo a cada combinación de orden dos el último elemento y todos los elementos siguientes. Se obtienen: 111 , 112 , 113 , 114 , 122 , 123 , 124 , 133 , 134 , 144 , 222 , 223 , 224 , 233 , 234 , 244 , 333 , 334 , 344 , 444.

          De cuatro elementos. Se pueden obtener a partir de las de orden tres, añadiendo a cada una de ellas el último elemento y los elementos siguientes.

          De cinco o más elementos. Como estamos construyendo combinaciones con repetición y los elementos se pueden repetir, podríamos continuar construyendo combinaciones de orden cinco o más elementos.

          Se puede comprender mejor la formación de las combinaciones con repetición utilizando el diagrama de árbol, como se puede comprobar con la siguiente escena.

          ¿Cuántas hay?. Siguiendo la construcción ordenada que se ha realizado, se puede observar que:

          De orden dos. Se puede comprobar en el diagrama de árbol que las combinaciones con repetición es igual que construir las combinaciones sin repetición con un elemento más. CR_4,2 = C_4+1,2 = C_5,2.

          De orden tres. Igual que con las anteriores, se obtienen a partir de las de orden anterior como si fuesen combinaciones sin repetición de un elemento más .CR_4,3 = C_4+1+1,3 = C_6,3.

          A partir de estas fórmulas es fácil deducir la siguiente fórmula para calcular el número de combinaciones con repetición CR_m,n.

          La siguiente escena se puede utilizar para calcular el número de combinaciones con repetición para cualquier valor de m y n.

          Con esta otra escena se pueden construir las combinaciones con repetición de hasta orden cinco con un conjunto de hasta nueve elementos.

Hoja de trabajo