¿Qué son? Variaciones con repetición de m elementos tomados de n en n (de orden n) son los distintos grupos de n elementos iguales o distintos que se pueden hacer con los m elementos que tenemos, de forma que dos grupos se diferencian en algún elemento o en el orden de colocación. Se representa por VR_m,n.

          ¿Cómo se forman?. Para construir las variaciones con repetición, partimos del conjunto A={1,2,3,4} y vamos a construir todas las variaciones con repetición posibles.

          De un elemento. Si tenemos un conjunto de cuatro elementos y queremos hacer grupos de uno, únicamente podremos hacer cuatro grupos sin ninguna posibilidad de repetición: 1 , 2 , 3 , 4.

          De dos elementos. Se pueden obtener a partir de las de orden uno añadiendo el segundo elemento. Como ahora se pueden repetir, el segundo elemento puede ser cualquiera de los cuatro que tenemos. Así se obtienen: 11, 12 , 13 , 14 , 21 , 22 , 23, 24 , 31 , 32 , 33 , 34 , 41 , 42 , 43 , 44.

          De tres elementos. Las obtenemos a partir de las anteriores, añadiendo a cada una de ellas otra vez todos los elementos que tenemos.

          De cuatro elementos. Se obtienen a partir de las de orden tres, añadiendo a cada una de ellas nuevamente todos los elementos.

          De cinco o más elementos. Como estamos construyendo variaciones con repetición y los elementos se pueden repetir, podríamos continuar construyendo variaciones de orden cinco o más elementos.

          Al estar trabajando con cuatro elementos nada más, la formación de variaciones con repetición resulta relativamente fácil, pero se puede hacer más fácil todavía utilizando para la construcción el diagrama de árbol, como se puede comprobar con la siguiente escena.

          ¿Cuántas hay?. Siguiendo la construcción ordenada que se ha realizado, es fácil deducir una fórmula para obtener el número de variaciones ordinarias o sin repetición:

          A partir de estas fórmulas es fácil deducir la siguiente fórmula para calcular el número de variaciones con repetición VR_m,n.

VR_m,n = mⁿ

          La siguiente escena se puede utilizar para calcular el número de variaciones con repetición para cualquier valor de m y n.

          Con esta otra escena se pueden construir las variaciones con repetición de hasta orden cinco con un conjunto de hasta nueve elementos.

          En esta última escena puedes realizar algunos ejercicios de aplicación de variaciones con repetición.

Hoja de trabajo