¿Qué son? Combinaciones sin repetición o combinaciones ordinarias de m elementos tomados de n en n (de orden n) son los distintos grupos de n elementos distintos que se pueden hacer con los m elementos que tenemos, de forma que dos grupos se diferencian en algún elemento y no en el orden de colocación. Se representa por C_m,n. (n≤m).

          ¿Cómo se forman?. Para construir las combinaciones sin repetición, partimos del conjunto A={1,2,3,4} y vamos a construir todas las combinaciones sin repetición posibles.

          De un elemento. Si tenemos un conjunto de cuatro elementos y queremos hacer grupos de uno, únicamente podremos hacer cuatro grupos: 1 , 2 , 3 , 4.

          De dos elementos. A diferencia de las variaciones, si ahora cambiamos de orden los elementos de un grupo, se obtiene el mismo grupo, por lo que para añadir el segundo elemento sólo podremos añadir todos los elementos posteriores y no los anteriores. Así se obtienen: 12 , 13 , 14 , 23, 24 , 34.

          De tres elementos. Se pueden construir a partir de las anteriores añadiendo a cada combinación de orden dos los elementos posteriores al segundo. Se obtienen: 123 , 124 , 134 , 234.

          De cuatro elementos. Se pueden obtener a partir de las de orden tres, añadiendo a cada una de ellas los elementos posteriores al tercer elemento. Se obtienen: 1234.

          Como estamos construyendo combinaciones sin repetición y los elementos no se pueden repetir, ya no podemos continuar construyendo variaciones de orden cinco.

          Se puede comprender mejor la formación de las combinaciones sin repetición utilizando el diagrama de árbol, como se puede comprobar con la siguiente escena.

          ¿Cuántas hay?. Para deducir una fórmula que nos permita calcular cualquier número de combinaciones ordinarias se puede observar, por ejemplo, las combinaciones anteriores de orden tres. Si en las cuatro que tenemos cambiamos de orden los tres elementos, lo podríamos hacer de P₃ = 6 formas distintas, con lo que obtendríamos veinticuatro grupos que coinciden con las variaciones de orden tres a partir de un conjunto de cuatro elementos, es decir:

          La siguiente escena se puede utilizar para calcular el número de variaciones sin repetición para cualquier valor de m y n.

          Con esta otra escena se pueden construir las combinaciones sin repetición de hasta orden cinco con un conjunto de hasta nueve elementos.

Hoja de trabajo