UNIDAD DIDÁCTICA: COMBINATORIA.
Álgebra
 

4.    PRINCIPIOS DE ADICIÓN Y MULTIPLICACIÓN.
 

          Cardinal de un conjunto. Se llama cardinal de un conjunto A y se representa por card(A) o por |A| al número de elementos que tiene el conjunto.
 

          Principio de adición. Para contar los elementos de dos o más conjuntos que no tengan elementos comunes, basta con sumar el número de elementos de cada uno de los conjuntos:
 

 

          En caso de que los conjuntos tengan elementos comunes, para contar el número total de elementos habrá que sumar los elementos de ambos conjuntos y restar el número de elementos repetidos.

 

 
          Esta fórmula se puede generalizar para tres o más conjuntos de la siguiente forma
 

 

 
          En la siguiente escena puedes ver algunos ejemplos de aplicación de este principio.
 

 

Actividad 1.

     Lanzamos dos dados al aire y sumamos los resultados obtenidos en las caras superiores. ¿De cuántas formas se puede obtener múltiplo de 4? ¿De cuántas múltiplo de 6? ¿Y múltiplo de 4 y 6? ¿Y múltiplo de 4 ó 6?

Actividad 2.

     En una academia de idiomas se imparten clases de inglés, francés y alemán. En el curso actual, 66 alumnos estudian al menos inglés, 55 francés y 59 alemán, 17 inglés y francés, 22 inglés y alemán, 19 francés y alemán y 7 estudian los tres idiomas. ¿Cuántos alumnos estudian únicamente inglés? ¿Cuántos alumnos estudian un único idioma?

Actividad 3.

     Una urna contiene 100 bolas numeradas de la forma: 00, 01, ... 98, 99. Se saca una bola al azar, sea M la primera cifra y N la segunda. Determinar en cuántos casos se pueden dar las siguientes situaciones:

a)  M = 3                      b)  N = 4                      c)  M ¹N                        d)  M > N

e)  M + N = 9               f)  M · N > 49               g)  M + N ¹8                 e)  M2 + N2 < 100
 
 

          Principio de multiplicación. Para contar los elementos de un conjunto de forma que sus elementos están formados por pares de elementos, en los que el primer elemento pertenece al primer conjunto y el segundo elemento al segundo conjunto (producto cartesiano), se multiplica el número de elementos de cada conjunto.
 

 
          Esta fórmula también se puede generalizar a tres o más conjuntos:
 

 

          Este principio lo podemos aplicar en el caso de que un recuento se pueda descomponer en varios procedimientos independientes de forma que en el procedimiento global intervenga un elemento de cada uno de los procedimientos.
 

 
          En la siguiente escena puedes ver algunos ejemplos de aplicación de este principio.
 

 

Actividad 4.

     Un juego educativo contiene figuras con forma de triángulos, cuadrados y círculos, en dos tamaños, grandes y pequeñas, y en cuatro colores, amarillo, azul, rojo y verde. ¿Cuántas figuras distintas hay?

Actividad 5.

     ¿Cuántos números de cinco cifras distintas hay mayores que 40000 y menores que 70000?

Hoja de trabajo
 
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1. ¿QUÉ ES LA COMBINATORIA? 2. FACTORIAL. NÚMERO COMBINATORIO 3. PROPIEDADES DE LOS NÚMEROS COMBINATORIOS 4. PRINCIPIOS DE ADICIÓN Y MULTIPLICACIÓN 5. VARIACIONES SIN REPETICIÓN 6. VARIACIONES CON REPETICIÓN
7. PERMUTACIONES SIN REPETICIÓN 8. PERMUTACIONES CON REPETICIÓN 9. COMBINACIONES SIN REPETICIÓN 10. COMBINACIONES CON REPETICIÓN 11. RESUMEN 12. EXAMEN

Luis Barrios Calmaestra
  Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2007
 

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