Progresiones geométricas

Introducción

sucesiones) y sus propiedades.

Entre estas sucesiones, unas de las primeras en estudiarse fueron aquellas en las que cada término se obtiene multiplicando el anterior por un número fijo: son las que llamamos progresiones geométricas.

Las tablillas de arcilla de la época babilónica (2000 aC) muestran que los babilonios estudiaron las progresiones geométricas y ya habían hallado la suma de los términos de una progresión geométrica en problemas concretos, llegando a establecer la fórmula:

1+2+2² + ... +2⁹ = 2¹⁰ -1

También pueden encontrarse problemas relacionados con progresiones en papiros egipcios. De igual modo, las progresiones aparecen también en la cultura árabe, a veces ligadas a leyendas como la de la recompensa al inventor del ajedrez.

En épocas más recientes (s. XVII - XVIII), el estudio de las progresiones y de su suma aparece relacionado con la aproximación de números irracionales o de funciones.

Objetivos

Reconocer progresiones geométricas.
Calcular la razón de una progresión.
Obtener la fórmula del término general de una progresión.
Calcular la suma y el producto de n términos de una progresión geométrica.
Calcular la suma de una progresión con razón menor que 1.
Resolver problemas relacionados con progresiones, tanto numéricos como geométricos.

Progresiones geométricas

Una progresión geométrica es una sucesión en la que cada término se obtiene multiplicando el anterior por un número fijo, que se llama razón de la progresión.

Dicho de otro modo, en una progresión geométrica el cociente entre cada término y el término anterior es una constante r, que se llama razón de la progresión.

Ejemplos.
La sucesión 3,6,12,24,48,...... es una progresión geométrica de razón 2.
La sucesión 0,0.1,0.01,0.001,...... es una progresión geométrica de razón 0.1.
La sucesión 1,1/4,1/16,1/64,....... es una progresión geométrica de razón 1/4.

Término general

Nos interesa disponer de una fórmula que permita calcular el valor de cualquier término de la progresión, si se conocen su primer término a₁ y la razón r.
Por definición de progresión geométrica, es:

a₂ = a₁·r a₃ = a₂·r = (a₁·r )·r = a₁·r² a₄ = a₃·r = (a₁·r² )·r = a₁·r³

Y, en general, a_n = a₁·r^n-1 , que es la fórmula del término general de la progresión.
En la siguiente escena, puedes representar progresiones geométricas en el plano cartesiano. Utiliza los controles de la parte inferior para modificar el valor de la razón y observa qué ocurre con la sucesión en los casos r<, 0<1 y r>1.

Concepción Sanchis Sanz
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2009.