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Producto de los n
primeros términos de una progresión
geométrica
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Queremos
obtener una fórmula que nos permita calcularlo. Nos
basaremos en la siguiente
Propiedad:
Si consideramos n términos de una progresión
geométrica, el producto de dos términos
equidistantes de los extremos coincide con el producto de estos
extremos.
En
efecto, si consideramos por ejemplo los seis primeros
términos de la progresión
a1
= 1, a2 = 2,a3 = 4,a4
= 8,a5 = 16, a6 = 32,
- el producto a1 · a6
puede interpretarse como el área de un rectángulo
de base 32 y altura 1;
- el producto a2 · a5
es el área de un rectángulo de
base 16 y altura 2: este rectángulo puede obtenerse cortando
el anterior por la mitad y poniendo las dos mitades una encima de otra:
evidentemente, no hemos añadido ni quitado nada, y por lo
tanto los dos rectángulos tienen la misma área.
- el producto a3 · a4
es el área de un rectángulo de base 8 y altura 4,
que podemos obtener a partir del anterior por el mismo procedimiento de
cortar y pegar: no hay, pues, variación del
área.
Tienes estos productos
representados en la siguiente escena, donde puedes comprobar que la
propiedad sigue siendo válida si cambias el valor del primer
término, a1.
Y en esta otra escena, puedes
comprobar que la propiedad vale para cualquier progresión:
En general, se demuestra que
el producto de los n primeros términos de una
progresión geométrica vale:
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Concepción
Sanchis Sanz
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2009.
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