Suma de los n primeros términos de una progresión geométrica

En primer lugar, y utilizando la siguiente escena, anota en tu cuaderno los diez primeros términos y las sumas S₁ ,S₂ , ... , S₁₀ de las progresiones cuya razón es:
a) 3
b) 2
c) 0.5
d) 0.75
e) 7/9

y responde a las siguientes preguntas:

Suma de los n primeros términos de una progresión geométrica

Deduciremos la fórmula que permite calcular S_n :
Tenemos S_n = a₁ + a₂ + ... +a_n

Multiplicando esta igualdad por r y teniendo en cuenta la definición de progresión geométrica:
r · S_n = r · (a₁ + a₂ + ... +a_{n)  =} r·a₁ +  r·a₂ + ... + r·a_n  =  a₂ + a₃ + ... + r · a_n
Restando las igualdades (1) y (2),
S_n - r·S_n = a₁ + a₂ + ... +a_n - (a₁ + a₂ + ... +r · a_n )  = a₁ + a₂ + ... +a_{n -}a₁ - a₂ - ... - a_n  -  r_·a_{n =} a₁ -  r_·a_n =
= a₁ -  r_·a₁ · r^n-1 =  a₁ -  a₁ · rⁿ = a₁ ·(1-   rⁿ )
Es  S_n ·(1-r) =a₁ ·(1-   rⁿ ), de donde finalmente:

En la expresión de S_n aparece la potencia rⁿ : si es r>1, se pueden conseguir valores de esta potencia, y por lo tanto de S_n tan grandes como se quiera con tal de tomar n suficientemente grande: en otras palabras, la sucesión de sumas tiende a infinito. En cambio, si es r<1, rⁿ se aproxima a 0 tanto como queramos, el término 1-   rⁿ tiende a 1 y la sucesión de sumas tiene límite la

Suma de una progresión geométrica de razón r<1

En la escena aparecen representadas la progresión (en azul) y  la sucesión de sumas (en rojo) para diferentes valores
del primer término y de la razón. Modifica estos valores para comprobar lo que se acaba de decir sobre la convergencia de la sucesión de sumas y comprueba el valor de la suma de la progresión en el caso r<1.

 

Concepción Sanchis Sanz  Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2009