Las curvas cónicas
Construcción / Reflexión / Ecuaciones
Ecuación General de 2º grado / Excentricidad y Directriz

Se llaman cuvas cónicas a todas aquellas que se obtienen cortando un cono con un plano. Debido a su origen las curvas cónicas se llaman a veces secciones cónicas.

El matemático griego Apolonio (262-190 A.C.) de Perga (antigua ciudad del Asia Menor) fue el primero en estudiar detalladamente las curvas cónicas. Apolonio descubrió que las cónicas se podían clasificar en tres tipos: elipses, hipérbolas y parábolas.

Las elipses son las curvas que se forman cortando un cono con un plano que solo toca uno de los mantos del cono y no es paralelo a una de sus aristas. 

Las hiperbolas son las curvas que se forman al cortar un cono con un plano que tocas los dos mantos del cono.

Las parábolas son las curvas que se forman al cortar un cono con un plano paralelo a una de sus aristas.

Apolonio demostró que las curvas cónicas tienen muchas propiedades interesantes. Algunas de esas propiedades son las que se utilizan actualmente para definirlas. En la página construcción se estudian las definiciones de las curvas cónicas como lugares geométricos, que son las más utilizadas en las matemáticas modernas.

Quizás las propiedades más interesantes y útiles que descubrió Apolonio de las cónicas son las llamadas propiedades de reflexión. Si se construyen espejos con la forma de una curva cónica que gira alrededor de su eje, se obtienen los llamados espejos elípticos, parabólicos o hiperbólicos, según la curva que gira. Apolonio demostró que si se coloca una fuente de luz en el foco de un espejo elíptico, entonces la luz reflejada en el espejo se concentra en el otro foco. Si se recibe luz de una fuente lejana con un espejo parabólico de manera que los rayos incidentes son paralelos al eje del espejo, entonces la luz reflejada por el espejo se concentra en el foco. Esta propiedad permite encender un papel si se coloca en el foco de un espejo parabólico y el eje del espejo se apunta hacia el sol. Existe la leyenda de que Arquímedes (287-212 A.C.) logró incendiar las naves romanas durante la defensa de Siracusa usando las propiedades de los espejos parabólicos. En el caso de los espejos hiperbólicos, la luz proveneinte de uno de los focos se refleja como si viniera del otro foco. En la página reflexión se estudian las propiedades de reflexión de las cónicas.

En el siglo XVI el filósofo y matemático René Descartes (1596-1650) desarrolló un método para relacionar las curvas con ecuaciones. Este método es la llamada Geometría Analítica. En la Geometría Analítica las curvas cónicas se pueden representar por ecuaciones de segundo grado en las variables x e y. En la página ecuaciones de las cónicas se presentan las ecuaciones más sencillas de las curvas cónicas que corresponden a las que tienen cu centro o, en el caso de la párábola, su vértice, en el centro y su eje de simetría coincide con uno de los ejes coordenados. Quizás el resultado más sorprendente de la Geometría Analítica es que todas las ecuaciones de segundo grado en dos variables representan secciones cónicas. Este hecho es el tema de la página sobre la ecuación general de segundo grado en dos variables.

En excentricidad y directriz se presentan las ecuaciones generales de las cónicas expresadas en términos de la excentricidad, la distancia del foco a la directriz y el ángulo del eje de simetría.

Sin lugar a dudas las cónicas son las curvas más importantes que la geometría ofrece a la física. Por ejemplo, las propiedades de reflexión son de gran utilidad en la óptica. Pero sin duda lo que las hace más importantes en la física es el hecho de que las órbitas de los planetas alrededor del sol sean elipses y que, más aún, la trayectoria de cualquier cuerpo sometido a una fuerza gravitatoria es una curva cónica. El astrónomo alemán Johannes Kepler (1570-1630) descubrió que las órbitas de los planetas alrededor del sol son elipses que tienen al sol como uno de sus focos. Más tarde el célebre matemátco y físico inglés Isaac Newton (1642-1727) demostró que la órbita de un cuerpo alrededor de una fuerza de tipo gravitatorio es siempre una curva cónica. En los ejemplos de física hay una página dedicada a la relación entre Las leyes de Kepler y la segunda ley de Newton.

Una manera sencilla de resumir la importancia de las curvas cónicas es mencionar los nombres de los principales personajes cuyo trabajo ha estado relacionado con las cónicas: Apolonio, Arquímedes, Kepler, Descartes y Newton.

Autor: José Luis Abru León