La ecuación general de 2º grado

La ecuación general de segundo grado en dos variables es.

a*x^2+b*x*y+c*y^2+d*x+e*y+f=0

Las soluciones de esta ecuación son las llamadas curvas cónicas. Si en el ejemplo siguiente el alumno aumenta el valor de b, podrá observar que la curva pasa de ser una circunferencia a ser una elipse, una parábola (cuando b=0.4) y luego una hipérbola (cuando b>0.4). 

Las gráficas de todas las ecuaciones de segundo grado en dos variables son curvas cónicas, aunque a veces se trate de cónicas degeneradas como pueden ser un par de rectas, una sola recta, un punto o nada. El número b^2-4ac se llama el discriminante de la ecuación y su valor determina el tipo de curva.

Si b^2-4ac < 0 la ecuación es de tipo elíptico y su gráfica puede ser una elipse, una circunferencia, un punto o vacía.

Si b^2-4ac = 0 la ecuación es de tipo parabólico y su gráfica puede ser una parábola, dos rectas (paralelas) o una recta.

Si b^2-4ac >0 la ecuación es de tipo hiperbólico y su gráfica puede ser una hipérbola o dos rectas.

Se invita al alumno a comprobar estas afirmaciones utilizando el applet anterior. Por ejemplo, puede observar que el tipo de curva no cambia si sólo modifica los parámetros d, e y f. También se le invita a comprobar que si a y b tienen el mismo signo, entonces se pueden obtener elipses con valores pequeños de b, una sola parábola para cierto valor de b (b=raiz(4ac)) y muchas hiperbolas con valores grandes de b. En cambio si a y c tienen signos contrarios la curva siempre es de tipo hiperbólico.

Para estudiar los casos especiales conviene utilizar la ecuación general simplificada que consiste en eliminar el término b*x*y. El siguiente applet presenta la ecuación general de segundo grado sin término en xy. El alumno debe realizar los siguientes ejercicios con este applet:

Ejercicios.

1. Encontrar unos valores de a, c, d, e y f para los cuales la gráfica sea un par de rectas.

2. Encontrar unos valores de a, c, d, e y f para los cuales la gráfica sea una sola recta.

3. Encontrar unos valores de a, c, d, e y f para los cuales la gráfica sea un solo punto.

4. Encontrar unos valores de a, c, d, e y f para los cuales la gráfica sea vacía.

Autor: José Luis Abru León