Excentricidad y directriz

Las cónicas pueden definirse en términos de uno de sus focos, de una recta llamada directriz y un número llamado excentricidad. El lugar geométrico de los puntos tales que la razón de la distancia al foco entre la distancia a la directriz es igual a la excentricidad,  es una curva cónica. Si la excentricidad es menor que 1.0 entonces es una elipse, si es igual a 1.0 es una parábola y si es mayor que 1.0 entonces es una rama de una hipérbola.

Este applet muestra la ecuación general de una cónica en términos del foco F, la directriz D y el ángulo t que forma D con la vertical.

El nippe Descartes cuenta con dos formas especiales de ecuaciones que representan a las curvas cónicas. La primera se basa en el foco, la directriz y la excentricidad y consiste en la fórmula explícita e=PF/PD es decir:

e=sqrt((x-Fx)^2+(y-Fy)^2)/(d+(x-Fx)*cos(t)+(y-Fy)*sen(t))

Hay otra forma especial para las cónicas basada en el foco, la directriz y un punto.

El siguiente applet usa esta otra forma que consiste en escribir la relación PF=e*PD explícitamente:

e=sqrt((x-Fx)^2+(y-Fy)^2)/(d-((x-Fx)*(Dx-Fx)+(y-Fy)*(Dy-Fy))/d)

donde

d=sqrt((Dx-Fx)^2+(Dy-Fy)^2)

y la excentricidad se calcula usando el punto P:

e=sqrt((Px-Fx)^2+(Py-Fy)^2)/(d-((Px-Fx)*(Dx-Fx)+(Py-Fy)*(Dy-Fy))/d)

Autor: José Luis Abru León