Las Leyes de Kepler
Las leyes de Kepler describen el movimiento de los planetas alrededor del sol.
La escena que se muestra en esta página tiene una masa grande M (el Sol) y otra pequeña m (un planeta) que se mueve alrededor de M bajo la acción de la fuerza gravitaroria F indicada en la escena. La animación del movimiento es una simulación numérica obtenida directamente de la segunda Ley de Newton (usando el método de integración de RungeKutta). Todos los resultados que se muestran se obtienen de la simulación numérica, por lo que el alumno puede considerar que está en un laboratorio experimental de movimiento planetario. El objetivo de la escena es que el alumno obtenga un conocimiento íntimo e intuitivo del movimiento planetario y de la relación entre las leyes de Kepler y la segunda ley de Newton.
La escena tiene dos controles gráficos que permiten cambiar la localización del planeta y determinar su velocidad. También hay tres controles numéricos con lo que se pueden cambiar los valores de la constante de la gravitación universal G y de las masas M y m. Los controles numéricos de la posición y la velocidad se encuentra en la ventana exterior que se obtiene con un clic derecho sobre la escena.
En la parte derecha de la escena aparecen algunos datos como la magnitud de la velocidad v, la distancia al Sol R, la energía cinética Ec y la energía potencial V, la velocidad areal vA (i.e. el área que barre el radio vector en una unidad de tiempo). Al pulsar animar-pausa el planeta comienza a moverse y cuando termina de dar una vuelta completa aparecen otros datos referentes a la órbita como el período T, los semiejes a y b, el área, la velocidad areal, el perihelio Rmin y el afelio Rmax y el cociente T2 / a3 que juega un papel importante en la tercera ley de Kepler.
Se sugiere al alumno realizar las siguientes observaciones y prácticas.
1) Arrancar la animación y esperar a que complete dos o tres períodos. Observar mientras tanto el comportamiento de las variables v, R y E. ¿Verdad que E permanece casi constante? Efectivamente, la energía total es constante, las variaciones que podrían observarse en algunos momento se deben a pequeños errores en los cálculos numéricos que realizan la simulación.
2) El cálculo de la velocidad areal se hace con la fórmula: vA=(x*vy-y*vx)/2 que es la magnitud del producto vectorial del vector de posición del planeta por su vector velocidad. El alumno puede ver que vA es consatante a lo largo del movimiento. Este es precisamente el contenido de la segunda ley de Kepler: los vectores que van del al Sol a cada planeta barren áreas iguales en tiempos iguales. Este hecho queda ilustrado gráficamente por los sectores rojos y morados que abarcan aproximadamente medio segundo y sus áreas son iguales. Se sugiere al alumno buscar condiciones iniciales que hagan que el período T sea un número entero, por ejemplo 7. En ese caso los sectores rojos y morados serán los mismos en cada ciclo. (Esto no tiene ningún significado físico pues las unidades de tiempo son arbitrarias, pero es divertido ;-)).
3) Sin cambiar G, M y m, buscar condiciones iniciales que den lugar a una órbita (casi) circular. Recuerde que en un movimiento circular la fuerza gravitatoria deberá ser igual a la fuerza centrípeta. Las órbitas más adecuadas para este ejercicio son las que tienen energías entre -0.8 y -1.2.
4) Cuando la energía total E del planeta es negativa, la órbita será elíptica, si es igual a cero será parabólica (algo muy difícil de conseguir) y si es positiva será hiperbólica. En realidad para valores de la energía cercanos a cero, aunque sean negativos, la órbita es muy grande y esos casos corresponden a las órbitas de los cometas peródicos. Para obtener una orbitas hiperbólica se sugiere pulsar inicio, disminuir la masa del sol M a 5 y la constante G a 0.16. En este caso se obtiene una órbita hiperbólica. Con M=5 y G=0.17 se obtiene una órbita elíptica que es casi parabólica: por mucho que se espere (a menos que sean varios días o semanas) el planeta no regresará. La primera ley de Kepler dice precisamente que las órbitas de los planetas alrededor del sol son órbitas elípticas con el sol en uno de los focos. De hecho las órbitas podrían ser también circulares, (como se vió en el ejercicio anterior), y los casos parabólico y elíptico no corresponden a planetas sino a cometas.
5) Usando la órbita circular obtenida en el ejercicio 2, calcular el cociente T2 / R3 en términos de G y M. Basta igualar la fuerza centrípeta mv2/R a la de la gravedad GMm/R2 y recordar que v=2pi/T . Con operaciones algebraicas elementales de obtiene:
Como puede verse esta constante no depende de la velocidad y posición inicial del planeta ni de su masa. Aún más sorprendente es que el cociente T2 / a3 es constante para todas las órbitas (elípticas o circulares) de todos los planetas. Este es el contenido de la tercera ley de Kepler: los cuadrados de los períodos de revolución de los planetas son proporcionales a los cubos de los semiejes mayores de sus órbitas elípticas.
Kepler no sabía que años después de que él descubriera empíricamente sus leyes del movimiento planetario, Newton demostraría que esas leyes son consecuencia directa de las leyes del movimiento de los cuerpos llamadas desde entonces leyes de Newton.
Nota para autores. Esta escena utiliza un macro muy importante y que tiene mucha funcionalidad. Se trata del macro masa. El macro masa contiene dos funciones para resolver numéricamente las ecuaciones de movimiento de una masa puntual: avanzar(dt) que usa una variación del método de integración de Euler llamado el método del salto de la rana (leap-frog), y RungeKutta(dt) que como su nombre indica, usa el método de Runge Kutta (de orden 4). La escena de esta página usa el método de RungeKutta que es más preciso. La utilización del macro masa para programar el planeta es típica de lo que se puede hacer con este macro. En principio es posible simular cualquier movimiento de una partícula.
Autor: José Luis Abreu León