Trisectrices. Curso descartes 2

Trisectrices

En la antigua Grecia se plantearon y se resolvieron muchos problemas, pero hay tres que quedaron sin resolver y se convirtieron en unos clásicos durante siglos, constituyendo un auténtico desafío y motor para la ciencia a la que se han unido matemáticos y aficionados, el enigma de estos estos tres problemas clásicos, no fue resuelto hasta hace relativamente poco tiempo pues hasta que no se dispuso de la teoría de Galois no se pudo demostrar la imposibilidad de resolver estos tres problemas tal y como lo plantearon lo griegos, con regla y compás.

Los enunciados de los tres problemas son los siguientes:

Duplicación del cubo: Construir un cubo que tenga el doble volumen que uno dado, o equivalentemente hallar dos medias proporcionales entre dos segmentos dados.

En la antigua Grecia este fue el problema mas popular, quizás alentado por la leyenda que lo rodeaba.

Cuenta la leyenda que el problema se originó, en el Oráculo de Delfos. El Oráculo dijo que la epidemia de peste que se extendía por el país acabaría si se duplicaba el tamaño del altar de forma cúbica, dedicado al dios Apolo. Para cumplir los deseos del Oráculo, los arquitectos construyeron un altar cúbico de arista doble que el anterior, pero, de esta forma, se alejaron de los deseos del Oráculo porque el volumen del altar resultó ser ocho veces mayor, y la peste seguió
Cuadratura del círculo: hallar un cuadrado con el mismo área que un círculo dado, o equivalentemente, hallar un segmento de recta con la misma longitud que una circunferencia dada.

Surgido en la Antigua Grecia, parece ser que el primero que se ocupó, sin éxito, fue Anaxágoras (s. V a. C.) mientras estaba encarcelado en Atenas acusado de impío por sostener públicamente que el Sol no era ninguna deidad, sino una gran piedra al rojo.

La solución del problema resistió todos los intentos de muchos matemáticos hasta el siglo XIX.. Fue el matemático alemán Ferdinand Lindemann (1852-1939) quien en 1882 demostró que el número no es construible al ser un número transcendente ( no es solución de ninguna ecuación algebraica). Después de más de 2200 años, el viejo y clásico problema de la cuadratura del círculo quedó resuelto en sentido negativo, es decir quedó demostrada la imposibilidad de resolver el problema. Pese a ello todavía se sigue intentando.

Trisección de un ángulo: dado un ángulo, hallar un ángulo que es su tercera parte.

La trisección del ángulo fue de los tres problemas el menos popular, quizás por no tener una leyenda que lo realzara, o bien porque tiene una naturaleza distinta de los otros dos, pues no se puede duplicar ningún cubo, no se puede cuadrar ningún círculo, pero si se puede trisecar con regla y compás algunos ángulos como por ejemplo el de 90º, como se muestra en la siguiente escena, este puede ser uno de los motivos por lo que aun hoy en día existen trisectores de ángulos.

Mueve el punto P, y observa como el triángulo BOP es equilátero cuando P se encuentra en la intersección de las dos circunferencias, pues tiene sus tres lados iguales al radio, y en ese instante el ángulo BOP es de 60º y por lo tanto AOP es de 30º.

En este trabajo se va a tratar la trisección del ángulo, se expondrán diferentes curvas (que no se pueden trazar solo con regla y compás) que surgieron estudiando la trisección de un ángulo o que se inventaron para ello, de ninguna manera resolvemos el problema clásico de la trisección de un ángulo, con su planteamiento original, pero se da una visión bastante amplia, de como es te problema cautivo a diferentes matemáticos a través de los siglos.

También sirve este trabajo para dar razón de ser a una serie de curvas (lugares geométricos), que tiene nombre propio pero que muy pocas veces sabemos para que sirven o para que se utilizaron o quien las creo.

Se puede observar que todas las curvas que se usan son de grado 3 o mayor, lo que hace al problema irresoluble con regla y compás.

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En la tercera columna hay un fichero pdf que se puede bajar para practicar con cada curva sobre papel.

Cuadratriz de Hipías s. V a.C.		*Para pasar a papel* *"Cuadratriz de Hipías.pdf".*
Concoide de Nicomedes 200 a.C.		*Para pasar a papel.* *"Concoide de Nicomedes.pdf"*
Caracol de Pascal 1650		*Para pasar a papel.* *"Trisectriz de Pascal.pdf"*
Trisectriz de Ceva 1699		*Para pasar a papel.* *"Cicloide de Ceva.pdf"*
Trisectriz de MacLaurin 1742		*Para pasar a papel.* *"Trisectriz de MacLaurin.pdf"*