Cuadratriz de Hipías (Siglo V a.C.)
Hipías nació en Elis (Peloponeso) sobre el 430 a.C, y fue un estadista y filosofo que viajó de un lugar a otro cobrando por sus servicios. Disertó sobre poesía, gramática, historia, política, matemáticas y astronomía. Platón lo describe como un hombre vanidoso a la vez que arrogante y presuntuoso que tiene muchos conocimientos pero superficiales.
I.- Cuadratriz de Hipías
Después de la recta y la circunferencia, esta es la primera recta que se dibujo (siglo V a.C.), apareció incluso antes que las cónicas. Esta curva se define como el lugar geométrico de los puntos del plano que son intersección de dos recta que cumplen las siguientes condiciones:
Una recta es horizontal y se mueve a velocidad constante en dirección vertical.
Otra gira con velocidad constante.
En el instante inicial ambas rectas son perpendiculares y en el instante final coinciden.
Aunque su nombre es Cuadratriz, para nosotros debería ser Trisectriz, ya que la vamos a utilizar para trisecar un ángulo agudo. En realidad con esta curva se puede dividir un ángulo en un número cualquiera de partes iguales.
Su ecuación es la siguiente:
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En la siguiente escena mueve el punto Q o pulsa el botón animar y observa se construye la Cuadratriz de Hipías. |
II.- Trisección de un ángulo agudo con la Cuadratriz de Hipías.
Para trisecar un ángulo usando la Cuadratriz de Hipías, procedemos de la siguiente forma:
Construimos el cuadrado de vértices (0,0);(1,0);(1,1) y (0,1).
Trazamos el ángulo, colocando su vértice sobre el Origen y lado sobre el eje horizontal, el otro lado cortara a la cuadratriz en el punto Q.
Por Q trazamos una recta horizontal que cortará al lado del en el punto D, como se muestra en la escena de abajo.
Se divide el segmento AD en tres partes iguales usando el teorema de Tales, consiguiendo los puntos B,C.
Trazando una horizontal por B, se obtienen en la Cuadratriz el punto P que nos proporciona la trisección del ángulo.
Que el ángulo así obtenido es la tercera parte es evidente pues las rectas horizontal y la otra se desplazan a la misma velocidad que además es constante, y por lo tanto cuando la horizontal recorre dos tercios del segmento AD, la otra recta gira los dos tercios del ángulo(AOQ) .
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En la siguiente escena mueve el punto Q para comprobar la trisección de varios ángulos con Cuadratriz de Hipías. |
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