Concoide de Nicomedes. (200 a.c.)

Nicomedes nació sobre el año 280 a.C. en Grecia. Murió: sobre el año 210 a.C.

Se sabe muy poco de la vida de Nicomedes, incluso para establecer el periodo en el que vivió hay que hacerlo con referencias indirectas. Se sabe que Nicomedes criticó la duplicación del cubo de Eratóstenes (276 a. C.-194 a. C.) y que Apolonio (262 a.C.-190 a.C.) también habló de Nicomedes, así con estos datos apócrifos se estable el periodo en el que vivió.

Es famoso por su tratado "Las líneas de la concoide", y quiso utilizar la concoide para intentar solucionar los problemas clásicos de la trisección del ángulo y la duplicación del cubo.

I.- Concoide de Nicomedes.

Para dibujar la Concoide de Nicomedes necesitamos los siguientes elementos:

  1. Dibujamos una recta r (la directriz).
  2. Un punto exterior a la recta O (origen o polo).
  3. Un segmento con una longitud determinada k (constante).

Y procedemos de la siguiente manera:

  1. Desde O se traza una recta cualquiera s que corta a r ( la directriz) en el punto P.
  2. Con centro en P y radio k se traza una circunferencia que corta a la recta s en los punto Q1 y Q2, es decir Q1 y Q2 verifican d(Q1,P)=k;   d(Q2,P)=k.

El lugar geométrico de los puntos Q1 y Q2 cuando P recorre la recta r es la concoide de r con respecto al polo O y constante k.

Su fórmula implícita es la siguiente, donde la directriz es y=b y la constante (radio de la circunferencia es r=k): 

Para comprender mejor las explicaciones anteriores, ayúdate de la siguiente escena, cambiando los valore de k, de b y sobre todo moviendo el punto P sobre la recta directriz. NO olvides que la concoide de Nicomedes, es un lugar geométrico.

II.- La Concoide de Nicomedes como Trisectriz.

a) Ángulos en un rectángulo.

Ante de hablar de la concoide de Nicomedes como trisectriz, nos tenemos que convencer, o mas bien recordar, la relación de ángulos que hay en un rectángulo, para ello tenemos la siguiente escena. Los mismos colores, indican ángulos iguales.

Dar una explicación razonada para justificar la igualdades de los ángulos que tienen el mismo color.

Convéncete de los resultados de la escena modificándola, para ello puedes usar los controles disponibles.

b) Trisección de un ángulo agudo usando la Concoide de Nicomedes.

Veamos como se puede obtener la trisección de un ángulo agudo, usando la concoide de Nicomedes.

NOTACIÓN: Entenderemos por ángulo(AOB)  al ángulo mas pequeño que se puede definir con los vértices A, O y B siendo O el vértice.

Primero vamos a entender como se ha hecho el dibujo y en que orden:

  1. Trazamos un ángulo agudo, en  nuestro caso el ángulo(AOB).

  2. Trazamos una recta perpendicular al lado AO. Esta recta cortará a lado AO en A y al lado OB en B.

  3. Construimos la Concoide de Nicomedes con los siguientes elementos:

  4. Trazamos una recta perpendicular a la directriz que pase por B, y que cortará a la concoide de Nicomedes en el punto Q.

  5. Como se puede comprobar en la escena (recuerda, comprobar no es demostrar), el ángulo(AOQ) es la tercera parte del ángulo(AOB).

 

  • Antes de analizar la demostración siguiente, manipula la siguiente escena, cambiando el valor del ángulo, y sin perder de vista al punto Q, observa como siempre está sobre l a Concoide.

  • Observa también, como automáticamente la escena dibuja siempre la Concoide con la constante k=2*dist(O,B) pues de no ser así, el resultado no sería válido

 

 c) Demostración de la exactitud del resultado.

Para demostrar el resultado anterior, lo haremos paso a paso:

  1. El punto Q es un punto de la Concoide, y por lo tanto dist(N,Q)=2*dist(O,B)=2*dist(N,M)=2*dist(M,Q)=k, y para garantizarlo observemos lo siguiente: O está en la recta que une N y Q, la propia definición de la Concoide y que M es el punto medio entre N y Q.

  2. El ángulo(AOQ)=ángulo(OQB) pues son ángulos que se forman al cortar dos recta paralelas, con la recta que contiene al segmento OQ.

  3. Como no hay ningún problema en considerar dibujado el rectángulo de vértices ABQP, como se muestra en la escena, podemos afirmar que el  ángulo(NMB)=2*ángulo(OQB).

  4. Se observa que el  triángulo OMB es isósceles pues los lados MB y OB son iguales, como queda de manifiesto en el punto número 1 de este apartado, y en consecuencia tenemos la siguiente igualdad,  ángulo(NMB)=ángulo(OMB)=ángulo(MOB)

  5. Y por último uniendo los punto 2 y 3 tenemos las siguientes igualdades:

ángulo(NMB)=ángulo(MOB)=2*ángulo(OQB)=2*ángulo(AOQ) que demostraría lo que queríamos.

III.- Ejercicios.

 1.- En la escena siguiente, se puede:

  1. Mover el punto B arrastrándolo, o cambiando los valores de los controles B.x  y B.y (coordenadas de B)

  2. Mover el punto Q arrastrándolo.

  3. Cambiar el valor de la directriz (b) usando su correspondiente control.

  4. Cambiar el valor de la constante k usando su correspondiente control.

Observa que para cada ángulo, hay una sola concoide de Nicomedes que permite localizar la tercera parte del ángulo.

Manipulando la escena anterior, completa la siguiente tabla: (Ajusta los parámetros de la escena y coloca el punto Q en la intersección de la recta vertical roja y la concoide, en ese momento se debe de obtener un ángulo que es la tercera parte de AOB ).
Ángulo Directriz (b) Constante (k)  Módulo OB
45º   8  
60º   8  
20º   10  
30º 4    
25º 5    
65º     3
35º     4

 ¡Ojo! k debe ser el doble del módulo de OB.

 

                                                       

Pedro González Enríquez. Curso 2004-2005.
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte., Educación. Año 2005  

 
 

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