RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

RECORDANDO A EUCLIDES

1. Primer PROBLEMA.

Halla el circuncentro del triángulo cuyos vértices son los puntos A = (-5, 2), B = (7, -4) y C = (-1, 10)

1.1. SOLUCIÓN

1º Pincha con el botón secundario del ratón sobre la escena, te aparece una ventana auxiliar donde está el control Segmento, ponlo a 1 y arrastra los extremos A y B hasta hacerlos coincidir con los puntos A y B del triángulo dado. Arrastra el punto C de la escena hasta llevarlo al (-1, 10). Ya tienes situado el triángulo.

Para que puedas ver los puntos se les ha dotado de un cierto grosor, luego es posible que no puedas ser muy preciso en alguna ocasión, pero si actúas sobre los controles numéricos correspondientes solucionas el problema.

2º Coloca las mediatrices de los segmentos AB y AC (las perpendiculares que pasan por el punto medio).

La recta azul que aparece en la escena será la mediatriz del segmento AB así que su dirección será la perpendicular al vector AB (lo puedes obtener poniendo a 1 el control Dis o ¿lo recuerdas? (coordenadas del extremo menos las del origen) el punto P de la recta lo haces coincidir con el punto medio del segmento (que ya lo tienes desde el principio).

La recta roja (recuerda, para que aparezca, tienes que poner a 1 el control roja) será la mediatriz del segmento AC luego su vector de dirección será perpendicular a AC (para obtener AC y su punto medio puedes poner el control Dis a 2)  el punto Q de la recta roja lo hacer coincidir con el punto medio de AC.

3º Pon el control de P. Rela a 1 y...

Si quieres ver mejor el triángulo pon el control Segmento a 2. Y si deseas ver las ecuaciones de las dos mediatrices pon el control Ecu a 1.

Para practicar estos problemas te propongo otro ejercicio semejante: Halla el circuncentro del triángulo cuyos vértices son los puntos A = (3, -1), B = (-5, 3) y C = (1, -5)

Si ves que el triángulo te resulta pequeño para trabajar puedes aumentar el zoom (ponlo a 30, por ejemplo).

2. SEGUNDO  Problema.

Halla el ortocentro del triángulo cuyos vértices son los puntos A = (6, 4), B = (-3, 1) y C = (5, -3).

2.1. SOLUCIÓN

1º Pincha con el botón secundario del ratón sobre la escena, te aparece una ventana auxiliar donde está el control Segmento, ponlo a 1 y arrastra los extremos A y B hasta hacerlos coincidir con los puntos A y B del triángulo dado. Arrastra el punto C de la escena hasta llevarlo al (5, -3). Ya tienes situado el triángulo.

2º Haz coincidir la recta azul con la perpendicular a AB que pasa por C. Acabas de trazar la altura correspondiente al vértice C.

Pon el control roja a 1 y haz coincidir la recta roja con la perpendicular a AC que pasa por B.

Si no vieses las direcciones de los vectores AB y AC las puedes obtener poniendo respectivamente el control Dis a 1 y a 2.

3º Ya sólo queda poner a uno el control P. Rela a 1 y para verlo mejor pon ahora el control Segmento a 2.

Intenta resolver los problemas anteriores algebraicamente, verás que no tardas tanto, y si no estás seguro de las ecuaciones de las rectas que estés hallando el control Ecu puesto a 1 nos da las ecuaciones de las rectas azul y roja.

3.TERCER PROBLEMA.

Halla el baricentro y el área del triángulo determinado  por los puntos A = (-4, 3) , B = (2, 5) y C = (0, -5).

3.1. SOLUCIÓN

1º Sitúa los vértices del triángulo como los has hecho en los dos ejercicios anteriores. Tomamos como base el lado AB la distancia de A hasta B ó el módulo del vector AB= raíz cuadrada de ((Bx - Ax)²+(By - Ax)²) = raíz cuadrada de (36+4).

Tú no tienes que calcular ahora nada pues poniendo el control Dis a 1 obtenemos el módulo del vector AB y la distancia del punto C a la recta azul. Pero, ¡cuidado!, para que esta distancia corresponda a la altura correspondiente al vértice C la recta azul hay que hacerla pasar por AB (hazlo). Y base por ...nos da el área del triángulo.

2º Para calcular el baricentro podríamos hacer la intersección de dos de sus medianas (segmento que une un vértice con el punto medio del lado opuesto) pero si recordamos que el baricentro es el centro de gravedad del triángulo sus coordenadas serán ((Ax+Bx+Cx)/3, (Ay+By+Cy)/3)

3º Para confirmar tus resultados puedes poner el control Segmento a 2 y observar.

Como ves, se necesita poco más para resolver estos problemas que lo que aprendiste en los tres ejercicios fundamentales, resolver un sistema de dos ecuaciones, distancia entre dos puntos y distancia de un punto a una recta, todo los demás es operar. ¡Ánimo!. Puedes resolver con lápiz y papel los ejercicios de tu libro y luego comprobar la solución aquí, pero han de ser del mismo tipo aunque no importa que los datos sean distintos a los que hemos utilizado pues, como has experimentado, perfectamente se  pueden ir cambiando, y si te lías pinchas en inicio y todo vuelve al principio.