RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE GEOMETRÍA ANALÍTICA

RECORDANDO A EUCLIDES
POSICIÓN RELATIVA DE DOS RECTAS
 

 

1.  EJERCICIO.

Estudia la posición relativa de las rectas: x + 3y + 7 = 0  y  4x + 11y - 3 = 0

1.1. SOLUCIÓN 

Para representar estas dos rectas no te hará falta el punto C, puedes pinchar sobre él y arrastrarlo fuera de la escena, luego debes de hallar un punto por el que pasen y su vector director.

1º Así para calcular un punto de la recta azul le damos a x un valor cualquiera, por ejemplo el valor 2, y despejamos y, con lo que tendremos que el punto P=(2,-3) pertenece a la recta. Su vector director como sabes es el V=(3,-1). Esta recta no la tienes que poner en la escena ya está, es la azul que aparece.

2º Te recuerdo que para poner la roja en escena debes poner el control roja a 1 y si deseamos precisión se han de meter los datos haciendo que emerja una nueva ventana con el botón secundario del ratón. Su vector de dirección n (¡ojo! no es el normal) = (11,-4) y un punto Q puede ser (-2,1)

3º Para comprobar que has puesto las rectas correctamente puedes poner el control Ecu a 1 y observar que las ecuaciones generales de ambas coinciden con las dadas en el problema (las ecuaciones de la recta azul están en la parte superior y la de la roja en la inferior) ¿Se cortan? ¿Son paralelas?

4º Pon a uno el control P.Rela

Este programa te da la solución rápidamente pero si tienes en cuenta  el tiempo que tardas en poner las rectas en  la escena ya no es tan rápido. Fíjate que la pendiente de la recta azul es v2/v1=-1/3 y la pendiente de la roja es n2/n1=-4/11 que son evidentemente distintas luego no pueden ser paralelas ni coincidentes. ¿Sabes hallar el punto de corte? Si no tienes  seguro cuál es el punto de corte pon P.Rela a dos.

2.  problema.

Pretendemos alquilar un coche durante un día de vacaciones. María se ha informado en una empresa que cobra 30 € fijos y 0'30 € por km recorrido. Alfredo nos comunica que otra empresa cobra 36 € fijos y 0'25 € por km recorrido. ¿Qué empresa nos interesa más?

2.1. SOLUCIÓN 

1º Como en el caso anterior el punto C no lo vamos a utilizar, y por tanto, lo pinchamos y lo arrastramos fuera de la escena, si lo prefieres, simplemente lo ignoras.

 Observa que si llamamos "y" al precio del alquiler y x a los kilómetros recorridos, el precio que nos da la empresa consultada por María vendrá expresado por la recta de ecuación y = 30 + 0'30x ,la ecuación del precio consultado por Alfredo es y = 36 + 0'25x.

2º Para representar estas rectas necesitas un punto y su dirección, así que los puntos pueden ser (0,30) y (0,36) respectivamente, y los vectores de dirección cualesquiera que cumplan v2/v1 =  0'30 y n2/n1 = 0'25, por ejemplo, v = (10, 3) y n = (10, 2'5).

3º Por comodidad será mejor meter los datos numéricamente en los respectivos campos, los de la recta azul están en la parte inferior de la escena y para que aparezca la recta roja , control roja a 1 y hacemos que emerja una nueva ventana pinchando con el botón secundario del ratón en cualquier punto de la escena.

4º No se ha estropeado nada, simplemente las rectas no se ven, para verlas tienes que reducir el zoom casi al mínimo. Ahora sólo te falta poner el control P.Rela a 1 y observar qué recta está por encima a la izquierda y  a la derecha del punto de corte. Recuerda, la y de las rectas ¿significaba?
Resuelto el problema, recapacitemos un poco. ¿Necesitamos un ordenador para resolver el sistema formado por las dos rectas anteriores?.  Observa que si empleamos el método de igualación nos queda 30 + 0'30x = 36 + 0'25x ¡Tardamos más en meter los datos que en resolver esta ecuación!

Estudia, sin ordenador, la posición relativa de las rectas: x - 3y + 7 = 0  y  -4x + 12y - 4 = 0
En esta escena puedes estudiar la posición relativa de cualquier par de rectas y el programa te dará la solución pero te aconsejo que sólo lo utilices como comprobación
       
  Antonio Pinos Salmerón
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte y Ciencia. Año 2005