INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES
Introducción a las derivadas
El problema de las tangentes
Para resolver ciertos problemas de optimización,
como los que hemos visto, deberíamos localizar el punto exacto sobre la gráfica
en donde, si se dibuja una tangente, ésta sería horizontal.
Tenemos que tener claro cómo dibujar una tangente y cómo identificar que es
horizontal.
Observa la animación siguiente, relacionada con el problema anterior de buscar
el valor del recorte para que el volumen sea máximo:
1.- En tu cuaderno dibuja dos rectas que
toquen a una curva en un punto y una sea tangente y la otra no, intenta lo
mismo cuando la recta toque en dos puntos. Como
ves es necesario especificar en qué punto es tangente la recta para poder
resolver el problema con precisión. En un intervalo muy pequeño con centro el
punto de tangencia, la gráfica de la función y la recta tangente deben
confundirse, es decir, deben tomar valores muy próximos.
Vamos
a experimentar con dos puntos pertenecientes a una parábola. T representa el
punto donde queremos determinar la tangente. Muévelos a lo largo de la curva.
2.- Observa qué ocurre con la recta secante formada por los puntos T y P,
cuando T y P se aproximan y cuando se superponen. ¿Ocurre lo mismo si el punto
P se aproxima por la derecha o por la izquierda? Calcula la pendiente de la una
recta secante cuando P se acerca por la izquierda y cuando P se acerca por la
derecha.
3.- ¿Explica en tu cuaderno cómo podríamos
utilizar esto para dibujar la recta tangente e indicar cuál es su pendiente?
Crecimiento de una función en un intervalo
4.- Observa qué pasa con los
incrementos de una función al incrementarse la variable independiente.
5.- Observa qué sucede cuando
se usan incrementos muy pequeños.
Vamos a analizar el crecimiento
de una función en un intervalo.
6.- Observa el
crecimiento/decrecimiento de las funciones dibujadas. ¿Crecen lo mismo entre
dos valores cualesquiera de los puntos indicados? Toma tres ejemplos para cada
gráfica. (En la primera gráfica un ejemplo debe ser los puntos A y B).
La relación entre el incremento de la función y el incremento de la variable
independiente recibe el nombre de TASA DE VARIACIÓN MEDIA (TVM) y se expresa
como la variación promedio de la función en un intervalo, es decir como si se
tratara de una variación lineal. Apunta la fórmula en tu cuaderno, la puedes
sacar de las imágenes anteriores.
7.- ¿Se te ocurre cómo
podríamos utilizar esto para calcular la recta tangente? Se trata de que
encuentres una relación entre la pendiente de la recta secante y la pendiente
de la recta tangente. Cuando el punto T y P coinciden, ¿Qué sucede? ¿Cómo
llaman los matemáticos a este hecho? Y, ¿Cómo lo resuelven?
El signo de la TVM tiene otro
significado importante.
8.- ¿Qué significa si la TVM
es positiva? ¿Y si es negativa? (Puedes volver a la parábola para comprobarlo).
9.- Explica el significado de
que la TVM sea cero y relaciónalo con los problemas de optimización del
apartado anterior.
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