INICIACIÓN AL CÁLCULO DE DERIVADAS. APLICACIONES
Tasa de variación instantánea. Derivadas
Tasa de variación instantánea
Vamos a seguir resolviendo problemas reales como
el de la caja y el de la lata:
En un cohete, el combustible se agota después
de 60 s. En los primeros t s el cohete alcanza una altura de h(t) = 10t2 m sobre la tierra. Vamos a estudiar su movimiento en
detalle contestando a una serie de preguntas en tu cuaderno:
1) ¿Qué altura alcanza el cohete antes de quemar por
completo el combustible?
2) ¿Cuál es la rapidez promedio del cohete?
Podemos obtener una idea más o menos
intuitiva de la manera como viaja el cohete durante su vuelo de 60 s para ello
construye una tabla que muestre la altura del cohete, h(t), para varios
instantes de t.
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t ,s |
h,m |
metros recorridos |
velocidad media |
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10 |
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20 |
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30 |
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40 |
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50 |
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60 |
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Al completar la tabla observarás que la
rapidez media del cohete se incrementa mientras va subiendo. ¿Cómo calcularías
exactamente la velocidad a los 3 s.? (No nos referimos a la rapidez promedio en
los tres primeros segundos) Es decir, cuál sería la lectura del velocímetro
exactamente a los 3 s de vuelo.
Observa que tanto el numerador como el
denominador en el cálculo de la velocidad se nos hacen cero , esto es una
indeterminación que resolveremos de la siguiente manera:
Llamaremos P al punto sobre la gráfica que
corresponde a la altura del cohete en t=3 s y denotamos por t al tiempo
correspondiente a 3+Δt, vemos que la rapidez promedio puede interpretarse
como la pendiente de la secante PT. Observa que cuando Δt se aproxima a
cero, el punto T se mueve hacia P:
= pendiente de
la recta tangente a la curva en P o velocidad instantánea en t
Vamos a calcular:
v(t)=
10(2t+Δt)
v(t)=20t
Con
esta fórmula de la velocidad podremos saber cuál es la velocidad del cohete en
cualquier instante. Al valor de la velocidad se le llama velocidad instantánea,
y en general tasa de variación instantánea y derivada de la función en un punto
(h´(t) en nuestro caso).
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