6ª Si una matriz cuadrada tiene dos filas o dos columnas iguales su determinante es cero.

7ª Si una matriz cuadrada tiene dos filas o columnas proporcionales su determinante es cero.

8ª Si todos los elementos de una fila o columna de una matriz cuadrada se descomponen en dos sumandos, entonces su determinante es igual a la suma de dos determinantes que tienen en dicha fila o columna el primero y el segundo sumando respectivamente, siendo los restantes elementos iguales a los del determinante inicial.

9ª Si una fila o columna de una matriz cuadrada es combinación lineal de dos o más de las restantes filas o columnas, su determinante es cero.

10ª Si a una fila o columna de una matriz cuadrada se le suma otra paralela a ella, su determinante no varía.

11ª Si a una fila o columna de una matriz cuadrada se le suma otra paralela a ella multiplicada por un número, su determinante no varía.

El conocimiento de las propiedades de los determinantes nos permiten, por ejemplo, simplificar el cálculo de determinantes de orden mayor que  3, a los que no se puede aplicar directamente la regla de Sarrus. Como se comentó anteriormente, en la página Determinantes de cualquier orden: "para calcular el determinante de una matriz de orden 4 es necesario calcular  4  determinantes de orden  3. Y si la matriz fuera de orden  5, habría que calcular  20  determinantes de orden  3  (puesto que al desarrollarlo por los adjuntos de una fila o columna cualquiera se obtendrían  5 determinantes de orden  4  y, cada uno de éstos, a su vez, se puede descomponer en  4  determinantes de orden  3).". En las escenas siguientes se describe el proceso para calcular un determinante de orden  4  o  5  buscando "ceros", hasta obtener un determinante de orden  3,  que se puede calcular directamente.