En cursos anteriores se ha estudiado la dependencia e independencia lineal de vectores. Recordemos algunas nociones:

1º En  R²  dos vectores  u = (a , b)  y  v = (c , d)  son linealmente independientes cuando no son proporcionales, es decir, no existe ningún número real  β  que verifique:  u = β . v.

Ejemplo:  u = (3 , 5)   y   v = (9 ,  6)  son linealmente independientes puesto que no son proporcionales.

2º En  R²  dos vectores  u = (a , b)  y  v = (c , d)  son linealmente dependientes cuando son proporcionales, es decir, existe un número real  β  que verifica:  u = β . v.

Ejemplo:  u = (3 , 5)   y   v = (9 ,  15)  son linealmente dependientes puesto que son proporcionales:  v = 3 . u

3º En  R³  tres vectores  u = (a , b, c),   v = (r , s , t)   y   w = (x , y , z)  son linealmente independientes cuando ninguno de ellos se puede escribir como combinación lineal de los restantes, es decir, no existen números reales  δ  y  β  que verifiquen: u = δ . v + β . w.

 Ejemplo:  u = (1 , 2 , 3),   v = (3 , 5 , 7)  y   w = (4 , 6 , 5)  son linealmente independientes puesto que no existen números reales    δ  y  β  que verifiquen:  u = δ . v + β . w. Si existieran tales números se cumpliría:

(1 , 2 , 3) = δ . (3 , 5 , 7) + β . (4 , 6 , 5),  es decir,  (1 , 2 , 3) = (3δ , 5δ , 7δ) + (4β , 6β , 5β), o lo que es lo mismo:

1 = 3δ + 4β;   2 = 5δ + 6β;   3 = 7δ + 5β;   pero este sistema de tres ecuaciones con dos incógnitas es incompatible, es decir, no tiene solución, lo que es equivalente a decir que no existe los números  δ  y  β   que verifiquen esa igualdad

4º En  R³  tres vectores  u = (a , b, c),   v = (r , s , t)   y   w = (x , y , z)  son linealmente dependientes cuando alguno de ellos se puede escribir como combinación lineal de los restantes, es decir, existen números reales  δ  y  β  que verifican:  u = δ . v + β . w.

Ejemplo:  u = (18 , 28 , 29),   v = (3 , 5 , 7)  y   w = (4 , 6 , 5)  son linealmente dependientes puesto que existen números reales  δ  y  β  que verifican:  u = δ . v + β . w.

(18 , 28 , 29) = δ . (3 , 5 , 7) + β . (4 , 6 , 5),  es decir,  (18 , 28 , 29) = (3δ , 5δ , 7δ) + (4β , 6β , 5β), o lo que es lo mismo:

18 = 3δ + 4β;   28 = 5δ + 6β;   29 = 7δ + 5β;    Resolviendo este sistema se obtiene:  δ = 2   y  β = 3.  Por lo tanto:

(18 , 28 , 29) = 2 . (3 , 5 , 7) + 3 . (4 , 6 , 5)

5º En general, un conjunto de vectores es linealmente independiente cuando ninguno de ellos se puede escribir como combinación lineal de los restantes y es linealmente dependiente cuando sucede lo contrario, es decir, cuando alguno de ellos se puede escribir como combinación lineal de los demás.

En una matriz se puede considerar que las filas (o las columnas) son vectores. Se llama rango de una matriz  A  al número de filas  (o columnas) linealmente independientes. Se representa por  rg (A). En cualquier matriz el número de filas linealmente independientes coincide con el número de columnas linealmente independientes. El valor máximo que puede tener el rango de una matriz es el menor de los números correspondientes al número de filas y columnas, es decir, si una matriz tiene dimensión  3 x 5, el valor máximo que puede alcanzar el rango de dicha matriz es  3  ( pues 3 = mínimo {3 , 5} ).

La única matriz que tiene rango  0  es la matriz nula. Cualquier otra matriz tendrá rango mayor o igual que  1.

La matriz  A  tiene rango  3  puesto que ninguna fila o columna se puede poner como combinación lineal de las restantes. En cambio, la matriz  B  tiene rango  2,  ya que las dos primeras filas no son proporcionales, pero la tercera fila es igual a la segunda fila menos el doble de la primera fila, por lo que no puede tener rango  3, ya que la tercera fila es combinación lineal de las otras dos.

Sea  A  una matriz de dimensión  m x n, y sea  h  un número natural tal que  1 ≤ h ≤ mínimo {m , n}. Se llama menor de orden  h  de la matriz  A  al determinante de la matriz cuadrada de orden  h  que se obtiene al suprimir  m - h  filas  y  n - h  columnas de la matriz  A.

Por ejemplo, en la siguiente matriz de orden  3 x 4  hay:

• 12 posibles menores de orden  1  (porque tiene  12  elementos)

• 18 posibles menores de orden  2  (puesto que se pueden elegir  18  determinantes distintos de orden  2)

• 4   posibles menores de orden  3  (puesto que se pueden escoger  4  determinantes distintos de orden  3)

El rango de una matriz  A  es  h, cuando  A  tiene un menor de orden  h  distinto de cero y todos los menores de orden  h + 1  son nulos.

El procedimiento para calcular el rango de una matriz  A  cualquiera, de dimensión  m x n, empleando determinantes, es el siguiente:

• Si algún elemento de la matriz es distinto de cero, entonces su rango es mayor o igual que  1. En caso contrario (matriz nula) el rango sería  0.

• Se elige, si existe, un menor de orden  2  distinto de cero. En este caso, el rango es mayor o igual que 2. Si no existiera ningún menor de orden  2  distinto de cero, el rango de la matriz sería  1.

• Al menor de orden  2  distinto de cero, obtenido en el paso anterior, se le añade otra fila y otra columna cualesquiera hasta encontrar, si existe, un menor de orden  3  distinto de cero. De esta forma, el rango de la matriz es mayor o igual que  3. Si todos los menores de orden  3  son nulos, el rango de la matriz sería  2.

• Al menor de orden  3  distinto de cero, obtenido en la etapa anterior, se le añade otra fila y otra columna cualesquiera hasta encontrar, si existe, un menor de orden  4  distinto de cero. De esta forma, el rango de la matriz es mayor o igual que  4. Si no existiera ningún menor de orden  4  distinto de cero, el rango de la matriz sería  3.

• Se repite este proceso hasta encontrar algún menor de orden  h  ( 1 ≤ h ≤ mínimo {m , n} )  distinto de cero, y que todos los menores de orden  h + 1  sean nulos.

La siguiente escena describe el proceso a seguir a través de un ejemplo:

Pulsando en el botón inferior, podrás calcular el rango, empleando determinantes, de cualquier matriz cuyo número de filas o columnas sea 5 o inferior.

El rango de la matriz  A es  2  pues las filas no son proporcionales.

El rango de la matriz  B  es  1, ya que las filas son proporcionales. La segunda fila es igual a la primera multiplicada por  3.

El rango de la matriz  C  es  4 , puesto que el menor de orden  4  formado por las cuatro filas y las cuatro primeras columnas vale  -4, es decir, es distinto de cero.