src= EXPERIMENTOS ALEATORIOS COMPUESTOS
Probabilidad
 

1. PROBABILIDADES EN UN EXPERIMENTO ALEATORIO COMPUESTO.

Un experimento aleatorio es aquel que, repetido bajo las mismas condiciones iniciales, da lugar a resultados distintos. Si consideramos varios experimentos aleatorios ejecutados simultáneamente o por etapas, estamos ante un experimento aleatorio compuesto. Un resultado elemental de este experimento será el conjunto de resultados obtenidos en los experimentos simples que lo componen.

En este apartado vamos a considerar dos experimentos simples ejecutados simultáneamente y estudiaremos ambos por separado y en conjunto:

Las siguientes escenas muestran una curiosa diana rectangular. Vamos a considerar el experimento en el que un tirador "ideal" clava un dardo en esta diana de manera totalmente aleatoria (ni se tiene en cuenta su experiencia o destreza, ni apunta a ninguna zona en especial). Vamos a considerar dos observaciones sobre el dardo:

  1. Color de la zona en la que se ha clavado (Rojo, Verde, Azul).
  2. Si ha caído dentro o fuera del rectángulo central que a partir de ahora llamaremos Zona de Bonus.
Si consideramos la primera observación como un experimento aleatorio simple tenemos que la probabilidad de hacer blanco en la zona Roja será, según la regla de Laplace:
 
                                            P(Rojo) = (área de la zona roja) / (área total de la diana) , es decir,  P(Rojo)= 40/80= 0,5

La interpretación de este valor es que, puesto que la zona Roja supone la mitad de la superficie total de la diana, es lógico suponer que, a priori, la mitad de las veces que se lance, el dardo dará en la parte de color rojo.

Para variar el tamaño de la zona Bonus puedes utilizar los controles gráficos de los vértices o los controles  numéricos A y B (Si deseas obtener un rectángulo que ocupe un número entero de cuadrículas son preferibles los controles numéricos).



Actividad 1.1. Observa la escena y contesta sin realizar ningún cálculo: ¿en qué color es más probable que caiga el dardo?¿Y menos?


 Actividad 1.2. Calcula P(Verde) y P(Azul).  ¿Cuál es el resultado de sumar P(Roja), P(Verde) y P(Azul)?


Actividad 1.3. Utiliza la escena para calcular en tu cuaderno las siguientes probabilidades (modifica el tamaño de la zona de Bonus):
  1. Probabilidad de acertar Bonus.
  2. Probabilidad de acertar Bonus y Rojo.
  3. Probabilidad de acertar Bonus y Verde.
  4. Probabilidad de acertar Bonus y Azul.
Pon el valor de S en 1 para comprobar si tus cálculos son correctos.


Actividad 1.4. Para la zona de Bonus con vértices A(3,3) y B(-1,-2), completa en tu cuaderno el siguiente cuadro (tabla de contingencia). Anota en la fila y columna "Total" la suma de las columnas y filas correspondientes y extrae conclusiones.

                       

ROJO

VERDE

AZUL

TOTAL

BONUS

 

 

 

 

NO BONUS

 

 

 

 

TOTAL

 

 

 

 

2. PROBABILIDAD CONDICIONADA.

Sean dos sucesos A y B, con P(B) distinta de 0. Se llama probabilidad de A condicionada a B y se escribe P(A/B), a:

                                                                              src=   

De la expresión anterior se deduce una expresión para calcular la probabilidad de que se produzcan simultáneamente A y B:

                                                                                                 src=
O alternativamente,

                                                                                                 src=               

La interpretación de esta definición es que saber que ha ocurrido (o no ha ocurrido) el suceso B, aporta una información extra sobre el resultado del experimento que puede variar la certeza que tenemos, a priori, de que pueda producirse el suceso A.

Cuando no sea así, diremos que los sucesos A y B son independientes y la probabilidad de que ocurra A será la misma, sepamos o no sepamos que ha ocurrido B. 

Es decir:

                                                                                                  src=                                        

Por lo tanto se deduce que si dos sucesos A y B son independientes, entonces

                                                                                              src=
Pon el control del suceso que sabemos que ha ocurrido en el valor 1. Después pon el control del suceso cuya probabilidad queremos averiguar también en 1 y aparecerá el valor de las probabilidades condicionadas correspondientes. Es recomendable que la zona Bonus contenga un número entero de cuadrículas.

Actividad 2.1. Utiliza la escena para simular las siguientes situaciones y calcular las probabilidades pedidas (varía el tamaño de la zona de Bonus):
  1. Si sabemos que el dardo ha caido en la zona Roja, ¿qué probabilidad hay de que esté dentro del Bonus?
  2. Si sabemos que el dardo está dentro del Bonus, ¿qué probabilidad hay de que haya caído en la parte roja de éste?
  3. Si sabemos que el dardo ha caido en la zona Verde, ¿qué probabilidad hay de que esté dentro del Bonus?
  4. Si sabemos que el dardo está dentro del Bonus, ¿qué probabilidad hay de que haya caído en la parte verde de éste?
  5. Si sabemos que el dardo ha caido en la zona Azul, ¿qué probabilidad hay de que esté dentro del Bonus?
  6. Si sabemos que el dardo está dentro del Bonus, ¿qué probabilidad hay de que haya caído en la parte azul de éste?

Actividad 2.2. Para la zona de Bonus de la actividad 1.4, completa la siguiente tabla en tu cuaderno y extrae conclusiones:


 

Queremos saber si

TOTAL

ROJA

VERDE

AZUL

Sabemos

BONUS

 

 

 

 

NO BONUS

 

 

 

 

 

TOTAL

 

 

 

 



Actividad 2.3. Para la zona de Bonus de la actividad 1.4, completa una tabla como esta y elabora las correspondientes a la zona Verde y a la zona Azul:

 

Queremos saber si

 

BONUS

NO BONUS

TOTAL

Sabemos

ROJA

 

 

 

NO ROJA

 

 

 

 

TOTAL

 

 

 


Actividad 2.4. Vuelve a leer la definición de sucesos independientes. ¿Crees que es independiente el color de la zona en la que se clava el dardo de si lo hace dentro o fuera del Bonus?¿Por qué?

3. PROBABILIDAD TOTAL.

Definición.- Decimos que los sucesos A1, A2,..., An representan una partición del espacio muestral  si:

                                               
                                                                                  src=

                                              Y para todo i distinto de j,
                                                                                                      src=                      
                                                                                  

Es decir, cuando realizamos el experimento ocurre uno y sólo uno de los sucesos Ai.

Teorema de la probabilidad total.- Dada una partición del espacio muestral Ai  y un suceso B, se cumple que:

src=

En ocasiones, calcular la probabilidad de B directamente es difícil y resulta más sencillo hacerlo sabiendo que se ha producido previamente el resultado Ai.

En el caso particular de que la partición del espacio muestral estuviera compuesta por dos sucesos, A1 y A2, la expresión anterior quedaría:

src=
    

Para variar el tamaño de la zona Bonus puedes utilizar los controles gráficos de los vértices o los controles  numéricos A y B (Si deseas obtener un rectángulo que ocupe un número entero de cuadrículas son preferibles los controles numéricos).





Actividad 3.1. Comprueba que, sea cual sea el tamaño de la zona Bonus, siempre se cumple:

    P(Bonus) = P(Bonus y Rojo) + P(Bonus y Verde) + P(Bonus y Azul)


Pon el valor de S en 1 para comprobar si tus cálculos son correctos.


  Experimentos aleatorios compuestos   Introducción   Experimentos aleatorios por etapas  
           
  Javier López Álvarez
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Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2009
 
 

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