Experimentos aleatorios por etapas

	EXPERIMENTOS ALEATORIOS POR ETAPAS
	Probabilidad

Investigaremos aquí experiencias compuestas que se suceden en el tiempo esto es, las experiencias simples que las componen se ejecutan de manera sucesiva. Por ejemplo el lanzamiento de una moneda varias veces o la extracción sucesiva de varias cartas de una baraja, etc.
También veremos como otros experimentos compuestos que en la práctica no se realizan de manera sucesiva, también se pueden adaptar a este modelo.

1. DIAGRAMAS DE ÁRBOL.

Nuestra experiencia de la diana también se puede considerar como un experimento por etapas si suponemos que concemos el resultado del lanzamiento del dardo a través de un observador que nos informa:

En primer lugar sobre el color de la zona donde ha caído.

Posteriormente de si está en Bonus o no.

Modifica los valores de los controles para ir mostrando los diferentes "caminos" o posibles resultados. Por ejemplo si pones Rojo y Bonus en 1 estarás escenificando el resultado caer en Rojo y Bonus. Si el valor de Solución es 1 también verás las probabilidades asociadas a cada situación.

La siguiente escena muestra, paso a paso, todos los desarrollos posibles de nuestro experimento considerando como zona Bonus el rectángulo definido por los vértices A(3,3) y B(-1,-2).

Actividad 1.1. Calcula las probabilidades correspondientes a las ramas del diagrama y comprueba en la escena.

Actividad 1.2. Utilizando las escenas de la página anterior indica a qué probabilidades corresponden los valores escritos en el diagrama de árbol.

Actividad 1.3. ¿Qué correspondencia gráfica hay entre el diagrama y el teorema de la probabilidad total? Aplícala para calcular la probabilidad total de acertar en Bonus (del color nos olvidamos).

2. TEOREMA DE BAYES.

Consideremos un experimento compuesto por dos etapas. En la primera hay dos resultados posibles, A1 o A2. Entre los posibles resultados de la segunda, está B. Si conocemos el resultado de la última etapa y sabemos que ha sido B, ¿qué probabilidad hay de que en la primer etapa el resultado fuera A1?

Fíjate que, a diferencia de lo visto hasta ahora, se pregunta por un experimento ya realizado (aunque desconocemos su resultado). Es por esto que a estas probabilidades se les llama "a posteriori".

En realidad, si olvidamos que se trata de un experimento por etapas, estamos preguntando por la probabilidad de A1 pero con un conocimiento extra: que ha ocurrido B, es decir, la probabilidad de A1 condicionada a B:

src=

Recordemos ahora que se trata de un experimento por etapas y que B ocurrió en la segunda fase, luego conoceremos P(B/A1) (OJO!! si te confundes con P(A1/B) revisa el apartado 2 de la página anterior) y para calcular P(B) tendremos que recorrer todos los caminos que nos lleven a B, es decir, aplicaremos el teorema de la probabilidad total. Entonces tendremos:

src=

Aplicando en la expresión anterior obtenemos:

src=

que es una particularización del Teorema de Bayes.

En general, si consideramos una partición del espacio muestral formada por n sucesos Aj (con j=1,2,...,n) y un suceso B, se cumple que:

src=

.

Mediante los valores de los controles numéricos puedes ir mostrando los diferentes caminos del diagrama y sus probabilidades correspondientes. Es conveniente que pongas a 1 en primer lugar el control del suceso que se sabe que ha ocurrido.

Se sabe que entre las mujeres motoristas, un 70% llevan siempre el casco puesto mientras que en el caso de los hombres sólo un 50%cumple esta norma. Se estima que el 80% de moteros son hombres. Consideramos un control sobre uso del casco en motoristas:

"Paramos un motorista al azar, un observador le pide el DNI y anota si es hombre o mujer y después si lleva el casco puesto o no"

Actividad 2.1. Calcula la probabilidad que un motorista parado al azar lleve casco.

Actividad 2.2. Si el DNI muestra que el motorista es hombre, ¿qué probabilidad hay de que no lleve casco?

Actividad 2.3. Si el motorista elegido lleva el casco puesto, ¿qué probabilidad hay de que sea una mujer?

	Javier López Álvarez

	Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2009

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