Funciones con dominio restringido.
Análisis (ampliación)
 
En esta sección aprenderemos a manejar funciones definidas a trozos, para ello, debemos recordar las gráficas del resto de funciones elementales:lineales, radicales, hiperbólicas, cuadráticas, logarítmicas y exponenciales.
"Trozo" de función. (Funciones con dominio restringido)

Hasta ahora hemos estudiado las funciones sin restringir el dominio (salvo las restricciones algebraicas). En esta sección aprenderemos a dibujar "trozos" de funciones, es decir, funciones  en las que restringimos "dónde está" la x, es decir, obligaremos a que la x esté en un intervalo [a,b] (y todas sus versiones semicerradas y abiertas). 

En la escena se muestra la gráfica de la función  f(x)=x2-4. En la parte inferior tienes dos controles a y b que delimitan el dominio de la función. De esta manera, en rojo, solo pintamos el trozo de la función f(x) de forma que la x está entre a y b.

Al lado de cada uno de los controles a y b, encontramos dos controles con el nombre c./a.. Estos controles toman los valores: 1 si queremos que el intervalo esté cerrado en ese extremo, 0 si queremos que el intervalo esté abierto en ese extremo.

Así, al inicio la escena dibuja en rojo la función f(x)=x2-4 cuando x se mueve en el intervalo [-2,1), o lo que es lo mismo -2<= x <1.

Para expresear el hecho de que la función está definida para x=-2 y no lo está para x=1 se resaltan los extremos de la función de la siguiente manera. Cuando el punto está incluído el extremo se resalta con un círculo relleno. Si el extremo no está incluído seresalta con un círculo sin rellenar. Así, el punto (-2,0) si pertenece a la gráfica por tanto lo representamos con un círculo relleno, mientras que el (1,-3) no está luego le corresponde un círculo sin rellenar. Observa cómo varía este hecho pulsando la casilla c./a..

Fíjate que se dibuja un segmento en negro marcando el intervalo de definición del trozo.

Recuerda  que los extremos siempre se dibujan esté o no esté incluído en el dominio el valor. El hecho de la inclusión o no del extremo se remarca con la forma del punto final. Para dibujar un trozo de función, es imprescindible dibujar los puntos de los extremos. f(x) en [a, b) dibujaremos los puntos (a, f(a)) y (b, f(b)) en el primero pondremos círculo relleno porque el intervalo es cerrado en la a y en el segundo círculo vacío porque el intervalo es abierto en la b.


Ejercicio 1: Para la función f(x)=x2-4 con -3 < x <= 2 calcula:f(-3), f(2), f(0), Dom f, Rec f, inyectividad, crecimiento y decrecimiento y máximos y mínimos relativos.

Ejercicio 2: Para la función f(x)=x2-4 con -3 <= x <= -1 calcula:f(-3), f(-1), Dom f, Rec f, inyectividad, crecimiento y decrecimiento y máximos y mínimos relativos.

Observa que los máximos y mínimos relativos en los trozos de funciones pueden estar dentro del intervalo de definición (si ya eran extremo relativo en la función sin restringir) o en los extremos de definición.. 


Esta escena te ayuda a dibujar cualquier función con dominio restringido. Para ello marca los extremos del dominio con los controles a y b, y escribe la función en los dos recuadros habilitados. En gris aparecerá la función sin restricciones externas sobre el dominio, y en rojo aparecerá dibujado el trozo de función que buscamos.

Hemos eliminado los controles c./a., a la hora de dibujar los trozos deberás marcar tú estos extremos con el símbolo que le corresponada según estén abiertos o cerrados.

Ejercicio 3: Dibuja la gráfica de f(x)=2x-3  con 0 < x < 5. Además de usar la escena haz una tabla de valores comprendidos entre 0 y 5 para dibujar exactamente la gráfica. En la tabla recuerda que tienen que aparecer los valores extremos, entren estos o no en el dominio.

Ejercicio 4: Dibuja la gráfica de f(x)=2/x con 0'5 <= x < 2. Además de usar la escena haz una tabla de valores comprendidos entre 0'5 y 2 para dibujar exactamente la gráfica. En la tabla recuerda que tienen que aparecer los valores extremos, entren estos o no en el dominio.



  Sergio Martínez Juste
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2009.