Tasa de variación instantánea

Derivada de una función en un punto

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Velocidad instantánea

Cuando circulamos en un coche podemos mirar en cualquier momento la velocidad que marca el velocímetro y decimos " en este momento voy a 120 km/h". Esa velocidad representa intuitivamente la velocidad instantánea . Si queremos definirla a partir de la relación espacio recorrido y tiempo empleado en recorrerlo tenemos un problema porque ese tiempo sería cero y el espacio también.

Sin embargo podemos recurrir a la idea de límite y considerar las velocidades con que hemos recorrido trayectos cada vez más pequeños. Parece razonable que, si esos trayectos se van acortando hasta el cero, las velocidades medias se irán aproximando a la velocidad con que circulo en un instante determinado.

Observa en la siguiente escena cómo varía esta velocidad para distintos puntos. Puedes mover P arrastrando con el ratón o modificando el valor de a, y mover Q para que se acerque a P usando el parámetro h de la parte inferior de la escena, tecleando otros valores o usando las flechas con el ratón. Se pretende que observes la evolución de la velocidad media cuando h tiende a cero.

 

1.- Elige valores de h positivos y cada vez más pequeños usando las flechas del parámetro h y observa el valor de la velocidad media en la parte superior. Anota tus conclusiones y da un valor aproximado para la velocidad instantánea con especial atención al signo de la velociad y al crecimiento de la función.

2.- Elige, si aún no lo has hecho, h=0 y mira el valor de la velocidad media. No puede efectuar la división por cero

3.- Elige valores de h negativos aproximándose a 0. Confirma el valor que habías elegido para la velocidad instantánea al acercarte por la derecha. Presta atención al crecimiento y al signo de la velocidad.

4.- Repite las pruebas en a=-1 donde la función crece

5.- Anota las conclusiones en tu cuaderno.

 

CONCLUSIONES:

Si tomo valores h positivos Q se aproxima a P por la derecha de la gráfica.

No puede calcularse la velocidad instantánea tomando h=0

Si h tiene signo negativo el punto Q se aproxima a P por la izquierda.

Cuando la función es decreciente la velocidad media es negativa.

Cuando la función es creciente la velocidad media es positiva

Como habrás visto tenemos un problema al tomar h =0. Vamos a estudiar el punto P acercándonos a él.

Fíjate en la siguiente escena, es igual que la anterior con un zoom para poder estudiar de cerca el punto x=a. El parámetro h tiene más cifras decimales y podemos estudiar puntos más próximos simulando el cálculo del límite.

1.- Elige valores de h cada vez más próximos a cero usando las flechas.

1.1.- Si te aproximas a P por la derecha (h>0) verás que la velocidad media va dando valores cada vez más próximos al nº -5 m/sg. En concreto fíjate en h=0.0001

1.2.- Si te aproximas a P por la izquierda (h<0) ocurre lo mismo, las velocidades se van aproximando al nº -5 m/sg. Fíjate ahora en h=-0.0001

1.3.- Observa el valor de la diferencia según te vas aproximando a h=0, especialmente en h=0.0001.

1.4.- Estima un valor para el límite cuando h tiende a cero

 

 

 

Como hemos visto antes en h=0 no podemos calcular la velocidad, pero parece razonable que, puestos a asignar una velocidad instantánea en a y ya que la división por cero no permite calcularla, elijamos ese valor al que nos estamos acercando tanto por la izquierda como por la derecha. ¿Es el que habías elegido? Si no es así repite en otro valor de a.

Se llama velocidad instantánea en a a ese nº y si recuerdas que la idea de aproximación o tendencia está recogida en la definición de límite entenderás que escribamos

La pendiente de la tangente a una curva en un punto

También te parecerá razonable que hablemos de la recta tangente a la curva en un punto P como el límite de las rectas secantes que pasan por P y Q cuando Q se aproxima a P.

En la siguiente escena puedes ver la evolución de las secantes al aproximarse Q a P

 

1.- Observa cómo varían las pendientes de las secantes para algunos puntos Q que se van aproximando a P por la derecha y después por la izquierda. Puedes usar la flecha de h pero al llegar a 0 debes teclear 0 si quieres seguir usando las décimas.Pulsa limpiar si quieres borrar los rastros

2.- Fíjate en el valor que toma la pendiente de la recta tangente y compara con los valores que iban tomando las pendientes de las secantes.

3.-Elige otro punto P donde la función sea decreciente usando el ratón o la flecha de a. Observa de nuevo la evolución de las pendientes al acercarte a él por ambos lados y compara con la pendiente de la tangente

 

Es facil entender por qué decimos que :

Pendiente de secante PQ es

Pendiente de la tangente a y=f(x) en x=a

 

Tasa de variación instantánea.

Ya te imaginarás que para comparar dos magnitudes cualesquiera en un punto, y no en un intervalo, vamos a necesitar introducir la idea de la tasa de variación instantánea.

En la siguiente escena haz una estimación de la tasa de variación instantánea en x=a y comprueba con el valor que aparece en la escena.

Presta especiál atención a los tramos de crecimiento y decrecimiento observando los cambios en el signo de la tasa.

Si aparecen muchos rastros en la escena usa el botón limpiar y tendrás sólo el último valor de los parámetros. Recuerda que puedes mover la escena usando O.x y O.y si la representación y los textos se superponen.

1.- Usa las flechas para observar la evolución de la tasa de variación media cuando Q se acerca a P por la derecha y por la izquierda.

2.- Teclea para h el valor 0 ( PyQ son el mismo punto) y fíjate en la TVM.

3.- Fíjate en los valores de la TVM cuando h es muy pequeño (h=0.0001 ó h=-0.0001)

4.- Fíjate en el valor que se asigna a la TVI para h=0

5.- Repite para otro valor de a del tramo en el que la función crece (por ej a=5)

 

 

 

Derivada de una función en un punto

Para recoger todas estas ideas sobre el estudio de funciones que relacionan valores de x con valores de y , en concreto sobre su ritmo de crecimiento tenemos una herramienta:

La derivada de una función y=f(x) en el punto de abscisa x = a es la pendiente de la tangente a la curva en el punto (a,f(a)) y coincide con la tasa de variación instantánea de la curva en el punto a.

 

Fíjate bien en la siguiente escena y trata de reconocer sobre ella todos los elementos que intervienen en la definición de derivada.

En tu cuaderno dibuja unos ejes de coordenadas y en él sitúa todos los elementos que en adelante hemos de utilizar: Una función y=f(x) que tenga cambios de crecimiento, sobre ella un punto fijo P=(a,f(a)), la variación de x (segmento h), el punto que se aproxima Q=(a+h,f(a+h)), la variación de y (segmento f(a+h)-f(a)), la secante que pasa por P y Q, la tangente a la curva en P, la fórmula de la tasa de variación media y finalmente la fórmula con la definición de la derivada.

 

 

1.- Da a h valores positivos y negativos aproximándose a cero y el cero. Estudia la escena.

2.- Busca puntos con derivada positiva y observa el crecimiento de la función al pasar por esos puntos

3.- Busca puntos con derivada negativa y observa el crecimiento de la función

4.- Busca puntos con derivada 0 y fíjate en la tangente.

5.- Limpia la escena, pon h=0 y recorre la gráfica dando distintos valores a a. Si te fijas en los puntos D verás que describen una gráfica nueva. Pon el parámetro FUNCION=1 y aparecerá la gráfica completa. Se trata de la FUNCION DERIVADA de la de la escena

 

DEFINICION:

La derivada de una función en un punto x=a es la pendiente de la tangente a la curva en ese punto y coincide con la tasa de variación instantánea de y respecto de x en ese punto. Su fórmula es

Si y=f(x) es derivable en algunos puntos de su dominio, podemos definir una función nueva que llamaremos y´ o f´ que a cada x le hace corresponder la derivada de f en x (esta es f´(x)). Esta función estará definida sólamente en los puntos en los que f es derivable.Ya que es una función también se suele escribir y=f´(x)

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Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000  
 

 

Autor: Rosa Jiménez Iraundegui