Tasa de variación media

Supongamos que te dejas caer al agua estando en un acantilado de 20 metros de altura. Vamos a estudiar la distancia y al agua en cada instante x. Se trata de una función cuya fórmula es y=20-5x².

En cada instante a estarás a una distancia f(a) del punto origen O. Si representamos todas las parejas P=(a,f(a)) en unos ejes cartesianos tendremos la gráfica de esta función.

El espacio recorrido en un tiempo h será la resta f(a+h)-f(a) y tendrá signo positivo si me alejo del agua y signo negativo si me acerco al agua.

Mira esta escena y haz los ejercicios. Dispones del parámetro a (en la parte inferior de la escena) cuyo valor puedes cambiar si lo necesitas. Si clickas con el ratón en algún punto te aparecen las coordenadas de ese punto. Ten cuidado porque la escala es distinta en los dos ejes. Necesitarás lápiz y papel.

OBSERVACION

En el ejercicio 4 has obtenido una velocidad negativa v=-16m/s porque la distancia al agua es cada vez más pequeña.

Siempre que trabajemos con funciones decrecientes la velocidad tendrá signo negativo. Si la función es creciente el signo de la velocidad será positivo.

Vamos a profundizar en el estudio de la velocidad

Velocidad media.

Uno de los aspectos más interesantes de esta situación es el estudio de la velocidad con que este móvil cambia su posición al pasar del punto P al punto Q

Esta velocidad vendrá dada por el cociente entre el espacio recorrido y el tiempo empleado en recorrerlo.

Cuando conocemos la posición a lo largo del tiempo mediante una fórmula y=f(x), va a ser útil referirnos a los puntos P y Q usando sus coordenadas de la siguiente forma: Si estamos en P en el instante x=a, estaremos en Q en otro instante al que vamos a llamar x=a+h y las posiciones de dichos puntos serán f(a) y f(a+h) respectivamente. Con esta notación las coordenadas de estos puntos serán: P=(a,f(a)) y Q=(a+h,f(a+h)). El espacio recorrido entre P y Q será f(a+h)-f(a), el tiempo empleado en recorrerlo será h y la velocidad media será

Observa en la siguiente escena cómo varía esta velocidad para distintos puntos. Puedes modificar P y Q usando los parámetros a y h de la parte inferior de la escena, tecleando otros valores o usando las flechas con el ratón.

OBSERVACION:

Si el punto Q está antes que P h tendrá signo negativo pero la velocidad mantendrá su signo.

La pendiente de la secante:

La recta secante que pasa por los puntos P (a, f(a)) y Q (a+h, f(a+h)) tiene una pendiente m que, como sabes, es la tangente del ángulo que forma la recta con el eje de abscisas y se puede calcular con la fórmula:

Fíjate en la siguiente escena. Puedes modificar los puntos P y Q arrastrando con el ratón. En la parte superior derecha tienes los valores de la pendiente, del ángulo y de la velocidad media.

OBSERVACION:

Como recordarás esta pendiente, que coincide con la tangente del ángulo que forma la recta secante con el eje de abscisas, nos informa de la dirección que lleva la recta.

Recordarás también que las rectas crecientes tienen pendiente positiva y las rectas decrecientes tienen pendiente negativa.

La velocidad media entre P y Q coincide con la pendiente de la recta secante que pasa por P y Q.

Tasa de variación media

Del mismo modo que nos puede interesar conocer la velocidad media con que hemos circulado para ir de Madrid a Barcelona encontramos otras situaciones, quizás menos familiares, pero similares a ésta y que nos plantean la misma pregunta. Por ejemplo, con qué velocidad aumenta o disminuye el nº de enfermos en una epidemia, la audiencia de un programa de televisión, el nº de personas que acuden cada semana a ver una determinada película, la demanda un artículo de consumo etc en un intervalo de tiempo.

No sólo esto. Podríamos estar interesados en la comparación de dos magnitudes cualesquiera, sin necesidad de referirnos siempre al tiempo empleado en producirse un cambio y que corresponde con la idea de velocidad media. Por ejemplo, si estamos comparando la talla y el peso de una persona a lo largo de su vida podría interesarnos saber cuánto varía el peso por cada cm. que varíe su talla.

Parece útil crear un concepto semejante al de velocidad media cuando queramos comparar la evolución de dos magnitudes cualesquiera. Del mismo modo que para estudiar la velocidad hemos necesitado conocer la posición del móvil en cada instante, esto es una función que relaciona posición y tiempo, ahora necesitaremos partir de una fórmula que nos relacione nuestras dos magnitudes sean éstas las que sean.

La tasa de variación media de y=f(x) entre dos puntos P=(a,f(x)) y Q=(a+h,f(a+h)) es la variación que experimenta y cuando x varía una unidad.

CONCLUSION

Dada una función y=f(x) hemos encontrado una expresión que permite medir la tasa de variación media entre dos puntos P y Q y que es la misma que usamos para medir la pendiente de la recta que pasa por P y Q. La velocidad media es un caso particular para x=tiempo e y=posición de un móvil.

En la siguiente escena puedes observar el valor de la tasa de variación media en distintas funciones

EJERCICIOS

Recuerda:La pendiente de una recta coincide con el valor de la tangente del ángulo que forma la recta, o cualquier otra paralela a ella, con el eje OX.

1.- Elige la FUNCION 1. Su fórmula es y=1.5x-2.

1.1.-Selecciona puntos Q ( por ej. h=1.5, h=1.2, h=1, h=0.5, h=0.1, h=-0.4, h=-0.1) y haz una estimación de la tasa asociada a P y Q a partir de las coordenadas. Comprueba en la parte superior.

1.2.-Selecciona otros puntos PQ ( puedes poner a=1 y cambiar Q a través de h) y estima la tasa. Fíjate en el valor obtenido y en la fórmula. Anota tus conclusiones usando una tabla como antes.

Si la gráfica de y=f(x) es una recta la TVM entre dos puntos cualesquiera es constante y coincide con la pendiente de la recta.

Además si la recta es creciente la TVM es positiva y coincide con el coeficiente de x

2.- Elige la FUNCION 2. Su fórmula es y=-0.3x+4

2.1.- Anota en el cuaderno el tipo de función, la TVM de esta función entre dos puntos P y Q cualesquiera y comprueba en la escena tus anotaciones.

Si la recta es decreciente la TVM es negativa y coincide con el coeficiente de x

3.-Elige la FUNCION 3. Su fórmula es y=-0.5x²+4x-3.5.

3.1.- Selecciona puntos P y Q del tramo creciente y trata de calcular su TVM aproximada. Puedes leer las coordenadas de los puntos en los ejes de la escena. Cuando tengas su valor comprueba en la parte superior de la gráfica.

3.2.- Elige puntos P y Q del tramo decreciente y haz una estimación de la tasa. Presta especial atención al signo.

Si la gráfica de la función es una curva la TVM es variable, depende de los puntos.

Si la gráfica es creciente la TVM entre dos puntos P y Q es siempre positiva

Si la gráfica es decreciente la TVM entre dos puntos P y Q es siempre negativa

4.- Elige la FUNCION 4. Su fórmula es y=x²-8x+16. Anota en el cuaderno el tipo de gráfica.

4.1.- Haz una estimacion de la tasa en los siguientes intervalos:

a) [2,3], [2,4] y [3,4]. Anota las respuestas y comprueba en la escena

b) [4,5] , [4,6] y [5,6]. Anota y comprueba

CONCLUSIONES

Para estudiar el ritmo de crecimiento de una función entre dos puntos se utiliza la tasa de variación media

	Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2000

Autor: Rosa Jiménez Iraundegui