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| PROBLEMAS DE OPTIMIZACION |
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Calcular las dimensiones de un cilindro, de volumen constante, de forma que la cantidad de material empleado para su construcción sea mínima. |
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| Arrastra el control a izquierda y derecha para construir los posibles cilindros con el volumen dado. Se ha limitado a 50 el valor del volumen y a 15 el valor máximo de b, pero como puedes ver en la gráfica, a partir de ahí el área crece indefinidamente, por que la función no alcanzará ningún mínimo. |
1.- Modifica los valores del volumen e intenta encontrar una relación entre los valores de b y h que hacen mínima el área. Utiliza el zoom y el control OX para ver la parte derecha de la función A(x).
2.-¿Qué dimensiones tiene el cilindro de superficie mínima cuando el volumen es de 10 m3?¿y cuando es de 1000cm3?
3.- Si seleccionas 1 en el control restricciones se plantea el problema anterior, pero con la condición de que la longitud del círculo de la base no puede ser mayor que la altura. Comprueba que eso implica que 
En la gráfica puedes ver que ahora la solución no está en un mínimo relativo, sino en un mínimo absoluto para el intervalo de definición de la función área, que, en este caso, coincide con el mayor valor que puede tomar la variable.
1.- Con unos conocimientos suficientes de cálculo diferencial, podrás deducir que los valores mínimos se obtienen para 
y 
, de aquí se deduce que b/h=π, y teniendo en cuenta que b = 2pr → b/2r = π , concluimos por tanto que h = 2r, es decir, que el cilindro de área mínima se obtiene cuando la altura coincide con un diámetro de la base, por tanto, la sección, a través de un diámetro es un cuadrado.
2.- Comprueba que la relación anterior se verifica para cualquier valor de V.
3.- Comprueba que si se impone la restricción señalada en el apartado 3, el mínimo siempre se encuentra en el valor indicado, 
, para cualquier valor de V.
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