GEOMETRÍA A TRAVES DE UN ROMPECABEZAS

4º de ESO Opción A

INTRODUCCIÓN.

Muchas de las demostraciones del teorema de Pitágoras se realizan mediante la descomposición y reagrupamiento de determinadas figuras, a modo de rompecabezas. En esta unidad, vas a utilizar uno de dichos rompecabezas. Manipulando y encajando sus piezas en una plantilla, vas a demostrar el teorema de Pitágoras y el teorema del Cateto.

Al hablar de manipulación de las piezas hemos de entender, al igual que ocurriría con las piezas en cartón o cualquier otro material, que las desplazamos, las giramos, incluso las volteamos, en resumen las movemos. Veremos como se caracterizan estos movimientos en el plano.

1. ROMPECABEZAS DE PITÁGORAS

En esta escena tienes representadas las piezas de un rompecabezas, y una plantilla sobre la que las vamos a superponer.

Las piezas son :

·            Un triángulo rectángulo T de catetos a y b y de hipotenusa c.

·            Tres cuadrados C1, C2 y C3.

·            Dos paralelogramos P1 y P2.

Mediante su manipulación pretendemos establecer relaciones entre sus medidas.

1.      Antes de empezar a encajar  las piezas en la plantilla deberás familiarizarte con ellas. Puedes moverlas situando el ratón sobre el punto rojo y arrastrándolo. Si ya has descubierto la relación que guardan los lados de cada pieza y los de la plantilla con los del triángulo, rellena en tu cuaderno una tabla con dichos datos.

2.      Al Igual que has visto las relaciones ente los lados, vamos a ver las que hay entre las áreas. Primero vas a encajar en la plantilla el triángulo, T y los tres cuadrados, C1, C2 y C3 ¿qué puedes decir del área de la plantilla?,

3.      Dejamos fuera uno de los cuadrados pequeños, por ejemplo C1, y tomamos el correspondiente paralelogramo, P1. Volvemos a encajar en la plantilla, ¿qué puedes decir del área del paralelogramo?, exprésala a partir de los lados del triángulo

4.      Repite el apartado anterior con el otro cuadrado, C2, y el otro paralelogramo, P2.

5.      Dibuja en tu cuaderno, de forma aproximada, las dos piezas, indicando su área, su base y su altura. Completa con estos datos la tabla de la actividad 1.

6.      Comprueba los resultados para otros triángulos; solo tienes que cambiar con las flechas los valores de a  o de b.

2. TEOREMA DE PITÁGORAS

En la escena anterior has analizado las piezas del rompecabezas y has obtenido relaciones entre ellas. En esta escena, en la que se han modificado los dos paralelogramos, y utilizando los resultados de las actividades anteriores, vas a obtener una relación que ya debes conocer entre la hipotenusa y los catetos del triángulo: “En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual  a la suma de los cuadrados de los catetos”.

7.      Antes de encajar las piezas en la plantilla vamos a estudiar las que se han modificado. Escribe en tu cuaderno cuánto miden sus lados y su área,  exprésalos a partir de  a, b y c. ¿Qué relación guardan con los de la escena anterior?, ¿cómo se han obtenido?. Si no lo ves claro pulsa aquí con el ratón.

8.      Dejamos fuera el cuadrado mayor e intentamos encajar en la plantilla las restantes piezas, esto es T, C1, C2, P1 y P2. ¿a qué conclusión puedes llegar?, escríbela en tu cuaderno. ¿Cómo se llama esta relación entre los lados de un triángulo rectángulo?.

9.      Repite la actividad anterior para otros valores de a y de b, y escribe en tu cuaderno las relación anterior para los distintos valores de a, b y c

 .- Antes de

3. TEOREMA DEL CATETO

En la siguiente escena se han añadido dos rectángulos, R1 y R2, a las piezas que ya conoces, aunque la posición de las restantes no es la misma que en la escena anterior. Si te fijas un poco observarás que se han añadido elementos al triángulo, estos son la altura, h, y las proyecciones de los catetos sobre la hipotenusa, q y p. Con estos nuevos elementos y los resultados anteriores vamos a estudiar una nueva relación: “En todo triángulo rectángulo el cuadrado de un cateto es igual  al producto de la hipotenusa por su proyección sobre ella”, esta relación es el llamado Teorema del Cateto

10.  Te habrás dado cuenta que la posición de la plantilla y de algunas piezas se han modificado. Antes de encajar las piezas estudia las que se han modificado y añadido . Escribe en tu cuaderno cuánto miden sus lados y su área. ¿Qué relación guardan con los de la escena anterior?, ¿cómo se han obtenido? , reproduce el procedimiento seguido en tu cuaderno. Si no lo ves claro pulsa aquí con el ratón.

11.  Utilizando las piezas que consideres necesario, encuentra la relación entre el área de P1 y la de R1. Utiliza los datos de las actividades anteriores. Escribe en tu cuaderno la relación obtenida.

12.  Repite la actividad anterior para P2 y R2.

13.  Comprueba las relaciones obtenidas para otros triángulos.