Antonio, un alumno de cuarto de ESO, al que no le gustaba demasiado ir a clase, y mucho menos a la de Matemáticas, tuvo la feliz idea de lanzar un rumor, a saber, que el día 28 de diciembre, para celebrar el día mundial del alumno, se cerrarían todos los centros. En el mismo instante comenzó a sembrar la semilla: pasaban dos alumnos de tercero y les comentó la "noticia" con el ruego de que cada uno, a su vez, la contara al día siguiente, a otros dos compañeros distintos, y así sucesivamente. Según sus cálculos el 1 de octubre dos alumnos conocerían la noticia, el día dos la conocerían cuatro más, el día tres la conocerían ocho más, .., ¡el día 28 de diciembre sería el caos!, y él sería feliz.

Antonio, recurre a su amiga Blanca y le cuenta un camelo de amebas que se reproducen por bipartición cada cierto tiempo, con objeto de tener idea de su posible éxito o fracaso. Blanca le presenta una tabla incompleta, la cual Antonio adapta a su problema, pero no sale de dudas. Por eso pide ayuda a todos los compañeros de la clase.

Resuelve en tu cuaderno de clase las siguientes preguntas:

a) Completa la tabla de Blanca, utilizando los controles para hacer los cálculos de las columnas segunda y tercera, como potencias de 2.

b) ¿Cuántos alumnos conocen la noticia el día 7 de octubre?

c) ¿En qué día, 256 nuevos alumnos, habrán escuchado el rumor? En total ¿cuántos alumnos conocen la "noticia"?

d) ¿Cuántos nuevos alumnos conocen la noticia el día nueve? ¿Y en total?

e) ¿En qué día, 65.536 nuevos alumnos, habrán escuchado el rumor?

f) Si x es el número de días transcurrido desde que Antonio pensó su idea, ¿cuántos nuevos alumnos conocen el rumor al cabo de x días?, ¿y en total?

g) Representa f(x) recogiendo la información obtenida en la tabla durante los cinco primeros días.

h) En la gráfica ¿has obtenido una serie de puntos aislados o una línea continua que une los distintos puntos?

i) A medida que los días pasan el número de nuevos alumnos que conocen la noticia ¿aumenta o disminuye? Este aumento o disminución ¿es igual de rápido cada día?

SOLUCIÓN

Propuesta: Representa en tu cuaderno la función discreta g(x) utilizando los valores obtenidos en la tabla.

Responde en tu cuaderno de clase las siguientes cuestiones:

a) Calcula los valores de las potencias de 2 y de 10 para exponentes comprendidos entre –3 y 3.

b) Representa los valores obtenidos en una gráfica.

c) Estudia el dominio de las funciones obtenidas, así como sus puntos de corte con los ejes de coordenadas.

d) ¿Cuál de las dos funciones crece más rápidamente? ¿Qué tienen en común?

Nota: Para calcular las potencias utiliza la siguiente aplicación:

SOLUCIÓN

Propuesta: Dibuja en tu cuaderno, sin hacer cálculos (aproximadamente), las funciones 3^x y 5^x en el mismo gráfico anterior. Expresa con palabras en qué te basas para realizarlo.

A las funciones de la forma y=a^x, siendo a un número real positivo distinto de 1, las llamamos funciones exponenciales.

Las funciones que como 2^x y 10^x tienen la base de la potencia mayor que 1, son funciones continuas y crecientes en todo su dominio. Cuando x toma valores muy altos pero negativos, las funciones toman valores muy próximos a cero. Cuando x toma valores muy altos las funciones  toman valores también muy altos.