DESCOMPOSICIÓN EN FACTORES PRIMOS.

Divisibilidad.

 
DESCOMPOSICIÓN DE UN NÚMERO EN PRODUCTO DE FACTORES PRIMOS.
 
Todo número compuesto se puede descomponer de forma única (salvo el orden de los factores) en producto de factores primos. Esto fue demostrado por Gauss (1777-1855).

En la práctica se procede como sigue:

  1. Traza una línea vertical y coloca el número a descomponer en la parte superior izquierda.
  2. Divide el número por el menor primo que sea posible, 2, 3, 5,... (puedes aplicar los criterios de divisibilidad para saber si la división será exacta o no). Coloca el divisor (el número primo) en la parte superior derecha y el cociente debajo del primer número.
  3. Repite el proceso hasta que en la parte izquierda te aparezca un 1 con lo que la descomposición habrá terminado.

(En la siguiente escena puedes ver la disposición de los números para la descomposición de 60)

 
En la escena de la izquierda puedes introducir un número para ver su descomposición factorial.
  1. Descompón en factores primos los números 256, 820, 1000. 
  2. ¿Cuántos factores aparecen en la descomposición de un número primo?
  3. Si un número es mayor que otro, ¿tendrá en su descomposición un mayor número de factores primos?
  4. Descompón el número 60 en factores primos. Forma productos con ellos (puedes repetir cada  factor, como máximo, el número de veces que ha aparecido en la descomposición) y comprueba que todos ellos son divisores del número 60. Repite lo mismo para el número 100.
  5. ¿Por qué números primos es divisible 25480?
Para que un número sea divisible por otro, el primero debe contener todos los factores primos del segundo con exponentes mayores o iguales.
  1. Descompón en factores primos los números 3600, 240, 280, y 300. Razona según lo anterior (sin efectuar la división) si el primero será divisible por cada uno de los otros.
  2. Un conocido problema en el que tendrás que efectuar descomposición en producto de factores (aunque no sean primos) es el siguiente: Dos viejos amigos se encuentran y entablan la siguiente conversación

    - ¿Cuántos años tienen ya tus 3 hijas?

    - Seguro que lo aciertas. El producto del número de años que tienen es 36 y su suma es igual al número de tu casa.

    - Me falta un dato.

    ¡Ah! ¡Es verdad! La mayor toca el piano.

    ¿Sabrías decir las edades de las 3 hijas? Piénsalo y si no lo descubres, sigue las siguientes pistas:

    Pista 1: Descompón el número 36 en producto de 3 factores (pueden ser repetidos) de todas las formas posibles. Anota las sumas de los 3 factores en todos los casos.

    Pista 2: De todos los resultados posibles, sólo 2 suman 13 ( el número de la casa pues si no fuese este número, sobraría parte del diálogo)

    Pista 3: Utiliza el último dato "La mayor toca el piano."

    Solución: 2-2-9.

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Un enunciado que nos parece razonablemente cierto pero que no ha podido ser demostrado aún, se conoce con el nombre de "conjetura".

Goldbach (1690-1764) conjeturó que todo número par mayor que 2 es suma de dos números primos (por ejemplo, 4=2+2, 6=3+3, 8=3+5, etc). Aunque se han conseguido avances notables, aún no se dispone de una demostración.

  1. Comprueba la conjetura de Goldbach para números pares menores que 50.

 
CÁLCULO DE LOS DIVISORES DE UN NÚMERO MEDIANTE SU DESCOMPOSICIÓN EN PRODUCTO DE FACTORES PRIMOS.
 

Hemos dicho que para que un número n sea divisible por otro a, el primero (n)  debe contener todos los factores primos del segundo (a) con exponentes mayores o iguales, o de forma equivalente, el segundo (a) sólo puede estar formado por un producto de factores primos del primero (n) con exponentes menores o iguales que los que aparecen en la descomposición de n o ser la unidad.

Según esto, para hallar los divisores de un número n procederemos como sigue:

  1. Descomponer el número n en producto de factores primos (supongamos que sólo aparecen 2 factores): n = ap·bq

  2. Escribir todas las potencias de a y de b con exponentes menores o iguales que p y q respectivamente:

    a0, a1, a2,..., ap

    b0, b1, b2,..., bq

  3. Los divisores se obtendrán formando todos los productos posibles de cada potencia de a por cada potencia de b.

  4. Si observamos que hay p+1 potencias de a y q+1 potencias de b, el número de divisores será:

    nºde div(n) = (p+1)·(q+1)

  1. Generaliza el método anterior para el caso de que aparezcan más de dos factores primos.
  2. ¿Cómo se calcularían los divisores si sólo hay un factor primo?
  3. ¿Cuántos divisores tiene cada uno de los números 72, 16, 300?. Hállalos por el método anterior. Puedes comprobar el resultado en la escena de cálculo de divisores.
  4. Escribe razonadamente un número que tenga 4 divisores, otro que tenga 15 y otro que tenga 20. Comprueba los resultados en la escena de cálculo de divisores.
 
  Índice Criterios de divisibilidad Máximo común divisor y mínimo común múltiplo
  Manuel María de la Rosa Vasco
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2003