Hemos estudiado en los apartados  1  y  2  de este tema como se calculan los determinantes de matrices de orden  2  y  orden  3.

Para calcular el determinante de una matriz de cualquier orden utilizamos el siguiente procedimiento: El determinante de una matriz cuadrada  A,  es igual a la suma de los productos de los elementos de una fila o columna cualquiera por sus adjuntos correspondientes, es decir:

Sea  A  una matriz de orden  n. Eligiendo la fila i  obtendríamos:

Det (A) = a_i1 . A_i1 + a_i2 . A_i2 + a_i3 . A_i3 + .... + a_in . A_in

siendo  aij,  j = 1, 2, 3, ... n  los elementos de la fila  i   y   Aij,  j = 1, 2, 3, ... n  sus adjuntos  correspondientes.

Si en lugar de escoger la fila  i, elegimos la columna  j, resulta:

Det (A) = a_1j . A_1j + a_2j . A_2j + a_3j . A_3j + .... + a_nj . A_nj

siendo  aij,  i = 1, 2, 3, ... n  los elementos de la columna  j   y   Aij,  i = 1, 2, 3, ... n  sus adjuntos  correspondientes.

Por ejemplo, como podrás apreciar en la siguiente escena, para calcular el determinante de una matriz de orden  4, elegimos los elementos de una fila o columna cualquiera y calculamos sus adjuntos. Por lo tanto, es necesario calcular cuatro determinantes de orden  3. Por último, aplicaremos cualquiera de las expresiones anteriores. (Recuerda que para obtener el adjunto de un elemento cualquiera de una matriz, se calcula el determinante de la matriz que se obtiene al suprimir la fila y la columna a la que pertenece dicho elemento. El valor de este determinante va precedido por el signo " + " o por el signo " - "  según que la suma de los subíndices del elemento ( i + j )  sea par o impar.)

Este método puede resultar bastante laborioso ya que, por ejemplo, para calcular el determinante de una matriz de orden 4 es necesario calcular  4  determinantes de orden  3. Y si la matriz fuera de orden  5, habría que calcular  20  determinantes de orden  3  (puesto que al desarrollarlo por los adjuntos de una fila o columna cualquiera se obtendrían  5 determinantes de orden  4  y, cada uno de éstos, a su vez, se puede descomponer en  4  determinantes de orden  3). Al finalizar el estudio de las propiedades de los determinantes, aplicaremos éstas para simplificar los cálculos.

La siguiente escena calcula el determinante de una matriz cualquiera de orden menor o igual que 5.