CASQUETE ESFÉRICO Y SEGMENTO ESFÉRICO DE UNA BASE
Geometría
 

1. ÁREA DEL CASQUETE ESFÉRICO Y DEL CASQUETE ESFÉRICO DE UNA BASE.

   En esta página, y en alguna posterior, se hace uso de uno de los descubrimientos que hizo Arquímedes, con respecto a la esfera. En la unidad sobre áreas de cuerpos geométricos se usó el siguiente: "La superficie de una esfera de radio R coincide con la superficie lateral de un cilindro de radio de la base R y altura 2R". A partir de aquí llegó a otro descubrimiento más curioso aún: "La superficie determinada en la esfera por dos planos paralelos a la base del cilindro y que la cortan es igual a la superficie correspondiente del cilindro".

Antes de empezar a realizar las actividades manipula los controles de cada escena para familiarizarte con ellos y observar qué sucede cuando modificamos el valor de cualquiera de ellos.

1.- Anota los valores de las superficies de los casquetes esféricos siguientes:

h 0.75 1.61 2.509 2.97 3.79
R
1
2
3
4
5

2.- Anota los valores de las áreas de los casquetes esféricos, para una esfera de radio 5 cm, de las alturas indicadas en la tabla siguiente:

h 0.75 1.61 2.509 2.97 3.79

3.- Calcula las áreas laterales de los cilindros que tienen por radios de la base 1, 2, 3, 4 y 5 cm. y alturas: 0,75 cm, 1,61 cm, 2,509 cm, 2,97 cm y 3,79 cm de altura, respectivamente.

4.- Calcula las áreas laterales de los cilindros cuyo radio de la base es de 5 cm. y de alturas las alturas de los casquetes esféricos de la actividad 2.

5.- Compara los resultados de las actividades 1 y 2 con los resultados de las actividades 3 y 4, respectivamente. ¿Qué observas?

 

6.- A la vista de tu respuesta a la actividad anterior, ¿Cuál sería la fórmula para poder calcular el área de un casquete esférico?

7.- Comprueba la validez de la fórmula dada en la actividad anterior,calculando las áreas de los casquétes de la actividad 2.

8.- Ahora ya no deberías tener ningun problema para encontrar una fórmula para calcular el área total del segmento esférico de una base.


2. VOLUMEN DEL SEGMENTO ESFÉRICO DE UNA BASE.

En este apartado habrá que esforzarse un poco más. Las actividades planteadas, como siempre, intentan dar pistas suficientes para llegar a la fórmula que se pide hallar.

9.- Manteniendo el valor del radio de la esfera báse igual a 5, anota el volúmen de cinco segmentos esféricos de una base, distintos.

10.- A partir de los datos que puedas obtener usando la escena completa una tabla como la siguiente:
Radio Esfera (R)
Altura segmento esférico (h)
Radio base segmento esférico (r)
Área de un círculo de radio "h"
3R-h

Producto de las celdas de las dos columnas anteriores

Volumen del segmento esférico

Cociente de las celdas de las dos columnas anteriores
2              
2.5              
3              
4              
5              

11.- A la vista de los resultados de la actividad anterior, escribe una fórmula que permita hallar el volumen de un segmento esférico de una base.

12.- Comprueba la validez de la fórmula hallada, verificando los valores de los volúmenes de la actividad anterior (aproxima los resultados a dos cifras decimales).

       
           
  Josep MĒ Navarro Canut
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2005
 
 

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