Transformaciones de funciones:
Dilataciones.
Análisis
 
Dilatación vertical.

En este apartado vamos a analizar cómo, a partir de la gráfica de una determinada función y = f(x), se puede representar con facilidad la gráfica de cualquier función de la forma y = af(x), siendo a un número real cualquiera.

Puedes aumentar o disminuir el valor del parámetro a usando las flechitas de la parte inferior.

En la escena adjunta se muestra la gráfica de la función f(x)=x3-3x. En la parte inferior se muestran dos ecuaciones: en azul la de la función anterior y en rojo la de la misma función multiplicada por una constante a. Dale al parámetro a valores entre cero y uno, y luego mayores que uno y observa qué sucede.

Observa que si 0<a<1, la gráfica se reduce verticalmente a un a*100%. Mientras que si a>1, la gráfica aumenta verticalmente hasta alcanzar un a*100% de su tamaño inicial.

Dilatar verticalmente una función a veces equivale a multiplicar todas las ordenadas de los puntos de la gráfica de la función por a. Esto es lo mismo que cambiar la escala del eje OY, multiplicándola por el valor de a. Para comprobar esto, realiza el siguiente ejercicio en tu cuaderno:

Ejercicio 1: Dibuja en tu cuaderno los ejes cartesianos donde la escala del eje OY sea el doble que la del eje OX. Ahora copia la gráfica de la función f(x)=x3-3x. Comprueba, en la escena anterior, que es la misma que la gráfica de la función g(x)=2(x3-3x).(Basta dar el valor 2 al parámetro a).

Ejercicio 2: Observa qué ocurre con el máximo y mínimo relativo de f(x)=x3-3x cuando a=2. Si una función f(x) tiene un mínimo relativo en el punto (2,-3), żen qué punto se encuentra el mínimo relativo de la función 5*f(x)?

Dilatación horizontal.

En este apartado vamos a analizar cómo, a partir de la gráfica de una determinada función y = f(x), se puede representar con facilidad la gráfica de cualquier función de la forma y = f(ax), siendo a un número real cualquiera.

En la escena adjunta se muestra la gráfica de la función f(x)=x3-3x. En la parte inferior se muestran dos ecuaciones: en azul la de la función anterior y en rojo la de la función

g(x)=(ax)3-3(ax)

Dale al parámetro a valores entre cero y uno, y luego mayores que uno y observa qué sucede.

Como habrás comprobado, si 0<a<1 la gráfica aumenta horizontalmente hasta un (1/a)*100%. Mientras que si a>1, la gráfica se reduce horizontalmente hasta un (1/a)*100%.

Dilatar horizontalmente una función a veces equivale a multiplicar todas las abscisas de los puntos de la gráfica de la función por 1/a. Esto es lo mismo que cambiar la escala del eje OX, multiplicándola por el valor de 1/a. Para comprobar esto, realiza el siguiente ejercicio en tu cuaderno:

Ejercicio 1: Dibuja en tu cuaderno los ejes cartesianos donde la escala del eje OX sea el doble que la del eje OY. Ahora copia la gráfica de la función f(x)=x3-3x. Comprueba, en la escena anterior, que es la misma que la gráfica de la función g(x)=(x/2)3-3(x/2). (Basta dar el valor 1/2 al parámetro a)

Ejercicio 2: Observa que ocurre con el máximo y mínimo relativo de f(x)=x3-3x cuando a=2 y cuando a=0.2. Si una función f(x) tiene un máximo relativo en el punto (1,-2), żen qué punto se encuentra el máximo relativo de la función f(0.25x)?

Ejercicio 3: Si una función f(x) corta al eje OX en el punto (4,0), żen qué punto corta al eje OX la función f(4x)?

Cambio de escala.

En este apartado vamos a analizar cómo, a partir de la gráfica de una determinada función y = f(x), se puede representar con facilidad la gráfica de cualquier función de la forma y = af(x/a) , siendo a un número real cualquiera.

En la escena adjunta se muestra la gráfica de la función f(x)=x3-3x. En la parte inferior se muestran dos ecuaciones: en azul la de la función anterior y en rojo la de la función

g(x)=a((x/a)3-3(x/a)).

Dale al parámetro a valores entre cero y uno y luego valores mayores que uno y observa qué sucede.

Observa que si 0<a<1, la gráfica se reduce proporcionalmente hasta un a*100%, mientras que si a>1, la gráfica aumenta proporcionalmente hasta un a*100%.

Esto equivale a multiplicar todas las abscisas y ordenadas de los puntos de la gráfica de la función por a. Esto es lo mismo que cambiar la escala, multiplicándola por el valor de a. Para comprobar esto, realiza el siguiente ejercicio:

Ejercicio 1: En la escena anterior, dale el valor 2 al parámetro a. En azul tendrás la gráfica de la función f(x)=x3-3x y en rojo la gráfica de la función g(x)=2((x/2)3-3(x/2)). Estamos aumentando la gráfica f(x) hasta un 200%, es decir, hasta el doble. Ahora cambia la escala al doble y comprueba que la gráfica que está de color rojo cambia a azul. Reduce la escala y vuélvela a cambiarla al doble hasta que te des cuenta del cambio. Con ello comprobamos que representar gráficamente la función g(x) es lo mismo que representar f(x) con el doble de escala.

Ejercicio 2: Observa que ocurre con el máximo y mínimo relativo de f(x)=x3-3x cuando a=3. Si una función f(x) tiene un mínimo relativo en el punto (-1,2), żen qué punto se encuentra el mínimo relativo de la función 5f(x/5)?

Ejercicio 3:Utiliza la escena anterior de Descartes para dibujar la gráfica de la siguiente función: (Utiliza la linea de edición de la derecha, donde aparece la función en azul)

f(x)=sen(x)

Después dibuja esa misma gráfica en tu cuaderno sobre un fondo cuadriculado. A partir de esa gráfica dibuja en tu cuaderno, y siguiendo los razonamientos vistos en esta página, las gráficas de las funciones:

f(x)=2senx f(x)=sen(x/2) f(x)=2sen(x/2)

Por último, comprueba si tu trabajo es correcto editando las funciones anteriores en la escena anterior o bien modificando el parámetro a de forma adecuada en dicha escena con la función inicial.

       
           
  Francisco José Merayo González
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2001