La siguiente escena nos dibuja la gráfica de la elipse solución y calcula su ecuación. Para la resolución del problema considera una elipse de la forma x²/a²+y²/b²=1, haz que los puntos P y Q la verifiquen , resuelve el sistema resultante en a² y b² y sustituye estos valores en la ecuación.

Si asignas el valor 1 al control ayuda puedes observar las zonas de existencia de solución o soluciones. Dado un punto P, la región de color azul asociada a él indica dónde ha de estar Q para que exista/n solución/es que puede/n verse haciendo 0 el valor del control ayuda.

Varía los valores de los controles numéricos de la escena y observa el resultado. 

2) ¿Qué ocurre si intentamos resolver el problema para los valores  xp=3, yp=-2, xq=-3, yq=2?. ¿Por qué puntos más pasan las elipses obtenidas y qué tienen todos ellos en común?.

3) Para P(6,4) halla un punto Q con coordenadas negativas de manera que no exista elipse que pase por ellos.

Para hallar los cuatro puntos de corte basta resolver el sistema formado por las ecuaciones de ambas elipses.

La condición para que dichos puntos formen un rectángulo determinado se puede traducir en una relación entre las coordenadas del punto de corte correspondiente al primer cuadrante "P(x1,y1)". Por ejemplo si queremos formar un cuadrado tendremos que hacer x1=y1.

1.- Resuelve el problema analíticamente y comprueba que los puntos de corte son (2a/Ö5,b/Ö5), (2a/Ö5,-b/Ö5), (-2a/Ö5,-b/Ö5), (-2a/Ö5,b/Ö5). Contrastar este resultado con el que aparece en los textos de la escena para los valores iniciales de la misma (a=4, b=6)

2.-Demuestra analíticamente que los cuatro puntos de corte forman un cuadrado si b=2a. Compruébalo en la escena haciendo a=Ö5 y b=2Ö5. Escribe, en este caso, los cuatro puntos de corte.

3.-Demuestra analíticamente que los cuatro puntos de corte forman un rectángulo doble de ancho que de alto si b=a. Compruébalo en la escena haciendo a=Ö5 y b=Ö5. Escribe, en este caso, los cuatro puntos de corte.

Dada la recta r: x-y-5=0 y el punto P(x1,y1) hallar la elipse de centro en el origen de coordenadas y ejes paralelos a los ejes coordenados que es tangente a r y pasa por P. Hallar también el punto de tangencia.

En la escena que sigue podemos ver la solución. Varía los valores de los controles numéricos x1 e y1 y observa el resultado.

Para la resolución analítica ten en cuenta que hemos de encontrar la ecuación de una elipse E de la forma  x²/a²+y²/b²=1 que sea tangente a la recta r en un cierto punto Q y que pase por P. La condición de tangencia de r y E significa que la ecuación e* de segundo grado obtenida al resolver el sistema formado por sus ecuaciones ha de tener discriminante nulo "solución única", lo cual nos proporciona una ecuación e₁ con dos incógnitas a² y b². El hecho de que P pertenezca a la elipse E nos da otra ecuación e₂ con las mismas incógnitas que e₁. La resolución del sistema formado por e₁ y e₂ permite la obtención de a² y b². Para la obtención del punto de tangencia Q, que su abscisa/ordenada verifica e* en la que ya se conoce a² y b². La otra coordenada de Q se despeja de la ecuación de la recta r.   

1.- Resuelve el problema para los valores iniciales de la escena (x1=-2 y y1=-2) y compara los resultados con los que aparecen en los textos de la escena. ¿Para qué otros tres puntos P se obtiene el mismo resultado?.

2.- Resuelve el problema para los valores iniciales de la escena (x1=-3 y y1=2) y compara los resultados con los que aparecen en los textos de la escena. ¿Hay más puntos en los que se obtiene la misma elipse?. En caso afirmativo, escribe sus coordenadas.

3.- Busca cuatro puntos, uno en cada cuadrante, para los que no hay solución.