Varía los valores de los controles numéricos de la escena x0, y0, a, b y mueve el punto P arrastrándolo con el ratón (o variando los controles numéricos P.x y P.y). En los textos de la escena observa cómo varía PF+PF´ según la posición de P.

Los focos F y F´ tienen de ordenada y0 y de abscisas x0+c y x0-c respectivamente, siendo c la semidistancia focal (a²=b²+c²).

2.- Lo mismo que el apartado anterior para los valores x0=1, y0=2, a=5.0, b=3.0, P.x=6.0 y P.y=2.0

3.- Igual que antes para los valores x0=1, y0=2, a=5.0, b=3.0, P.x=1.0 y P.y=4.0

4.- A la vista de los apartados anteriores escribe dos criterios diferentes para estudiar la posición relativa de un punto y de una elipse. 

6.- Utiliza los valores x0=1, y0=2, a=5.0, b=3.0, P.x=6.0 y P.y=2.0 y observa la escena. Justifica cada paso de la siguiente cadena de igualdades/desigualdades: PF+PF´=PF+(MF´-PM)=MF´+(PF-PM)<MF´+MF=2a. Relaciónalo con los apartados anteriores.

Una recta, respecto de una elipse, puede ser  exterior, si no tiene puntos comunes con ella; secante, si tiene dos puntos comunes; y tangente si tiene un punto en común (punto doble).

El sistema formado por las ecuaciones de la elipse y de la recta es un sistema de segundo grado cuya discusión siempre da lugar a una de las situaciones anteriores. 

1.- Estudia la posición relativa de la elipse y de la recta correspondientes a los valores iniciales de la escena. Halla los puntos comunes si existen.

El botón Animar introduce movimiento en la escena.

2.-Lo mismo que antes para los valores x0=1, y0=2, a=5.0, b=3.0, A=1, B=0, C=-6.

3.-Resuelve la práctica para x0=1, y0=2, a=5.0, b=3.0, A=1, B=1, C=4.

4.-Para la elipse inicial elige tres rectas horizontales (dando valores a A, B y C)  de manera que sean exterior, secante y tangente respectivamente.

Consideremos una circunferencia de centro F y radio 5 y un punto cualquiera F´ interior a la misma. Sea A un punto que recorre la circunferencia.

a) Demostrar que el lugar geométrico de los puntos P de intersección del radio AF y de la mediatriz del segmento AF´ es una elipse.

b) Demostrar que dicha mediatriz es la tangente a la circunferencia en el punto P.

La presente escena nos permite visualizar el lugar geométrico que buscamos. Para ello pulsa con el ratón sobre la flecha incrementadora del ángulo t (expresado en radianes) hasta dar una vuelta completa o simplemente haz clic sobre el botón animar. 

1.- Demuestra el apartado a) para Fx=-3 y Fy=0 y halla la ecuación de la elipse resultante. Pulsa en inicio y busca una sugerencia dando el valor 1 en el control ayuda (0 para ocultar).

2) Demuestra el apartado b) para Fx=-3 y Fy=0. Pulsa en inicio y busca una sugerencia dando el valor 2 en el control. El punto Q que aparece es un punto cualquiera de la mediatriz del segmento AF´ que puedes arrastrar con el ratón.

El botón inicio restaura los valores iniciales.