La siguiente escena nos dibuja el lugar geométrico pedido sin más que variar los valores de los controles numéricos a y c de la escena y arrastrar el punto P. Observa el resultado. 

Para la resolución analítica del problema, si C´: (x-x0)²+(y-y0)²=r² es la circunferencia cuyo centro Q(x0,y0) describe el lugar geométrico que buscamos, hemos de tener en cuenta que como C´pasa por F(c,0), se tiene que (c-x0)²+y0²=r²  (*) y, como C y C´son tangentes interiormente, la distancia entre sus centros es igual a la diferencia entre sus radios, es decir, Ö((x0+c)²+y0²)=2a-r  (**). Eliminando r entre las ecuaciones  (*) y  (**) se obtiene la ecuación del lugar.

2) Resuelve el problema analíticamente para (a=5, c=0). ¿Qué se obtiene en este caso?.

Observa que la ordenada de los focos F y G es la misma y, por tanto, la elipse tiene los ejes paralelos a los ejes coordenados. Su ecuación es de la forma (x-x0)²/a²+(y-y0)²/b²=1 siendo C(x0,y0), coordenadas del centro de la elipse, el punto medio de F y G. Para el cálculo de a y de b recuerda que a²=b²+c² siendo 2c=d(F,G) y d(Q,F)+d(Q,G)=2a.

1.- Resuelve el problema para los valores iniciales de la escena (Fx=-5, Gx=7, p=1, x1=3, y1=4). Comprueba los resultados con los que aparecen en los textos de la misma.

2.-Lo mismo que antes para los valores (Fx=-4, Gx=4, p=0, x1=5/3*Ö5, y1=2).

3.-Elige valores de Fx y Gx tales que Fx=Gx. ¿Qué elipse se obtiene en este caso?

Consideremos la elipse E₁ de ecuación x²/a²+y²/b²=1 sobre la que rueda sin deslizamiento otra elipse E₂ también de semiejes a y b. Hallar el lugar geométrico de los focos G y G´de E₂ 

Si pulsas en el botón animar la siguiente escena te permitirá ver cómo se mueve E₂ alrededor de E₁ y el lugar geométrico descrito por los focos de E₂.

Para las elipses E₁ y E₂ de la escena, a=5 y c=4.

1.- Si P es el punto de contacto de las elipses E₁ y E₂ ¿cuánto vale PF+PF´?. y ¿PG+PG´?

2.- Halla razonadamente el valor de G´F´ y el de GF. Escribe el lugar geométrico de los focos G y G´.