APLICACIONES CON PUNTOS, VECTORES, DISTANCIA Y RECTAS
PARTE I
5.1. DISTANCIA DE UN PUNTO A UNA RECTA
La distancia de un punto a una recta se halla sustituyendo en la ecuación normal de la recta las coordenadas generales (x,y) por las particulares del punto
  Sea el punto P (x1,y1), dado por sus coordenadas, y la recta r, dada por su ecuación :

Ax + By + C = 0

Su ecuación normal es:

La distancia del punto P (x1,y1) a la recta r, será:

Por lo que la distancia de la recta al origen será:

1.Hallar la distancia del punto P (3,4) a la recta r: 5x + 12 y -7 = 0.

Conviene observar que la distancia de un punto a una recta calculada mediante la fórmula, puede resultar positiva o negativa, y puesto que por definición, la distancia es un número no negativo, hay que tomar el resultado en valor absoluto.

2. Sea la recta r: (x/6)+(y/4)=1 y los puntos P (7,5) y Q (5,-4). Hallar las distancias de estos puntos a la recta.
5.2. INTERSECCIÓN DE DOS RECTAS
Para encontrar el punto de intersección de dos rectas, se resuelve el sistema formado por sus ecuaciones.
5.2.1. INTERSECCIÓN DE DOS RECTAS DADAS POR SU ECUACIÓN GENERAL
    

Si las rectas viene dadas por sus ecuaciones generales:

Sistema de rectas
Solución única Se cortan en 1 punto G_5ht10.gif (1018 bytes)
No tiene solución Paralelas G_5ht9.gif (1065 bytes)
Infinitas soluciones Son la misma recta
5.2.2. INTERSECCIÓN DE DOS RECTAS EN FORMAS EXPLICITA
     

Si la rectas vienen en forma explícita:

rectas r1: y = m1x + n1
r2: y = m2x + n2
ángulo a G_5ht11.gif (1154 bytes)
paralelas  a = 0º m1 = m2
perpendiculares  a = 90º 1 + m1.m2 = 0
m1.m2 = -1

5.2.3. INTERSECCIÓN DE DOS RECTAS EN FORMAS VECTORIAL
  Sea el conjunto de rectas:

r: (x,y) = (a1,a2)  + t  *  (v1,v2)

s: (x,y) = (b1,b2) + n * (w1,w2)

El ángulo que forman r y s es igual al que forman v y w, por tanto:

alfa = acos (v * w / !v! * !w!)

Si alfa es cero (paralelos):

v * w = !v! * !w!

Si alfa es 90 (perpendicularidad):

 v * w = 0 Þ v1 * w1 = - v2 * w2 

3.- Representa, en tu cuaderno, en unos ejes cartesianos un cuadrado centrado en el origen de coordenadas y cuyos lados sean paralelos a los ejes y midan 4 unidades. ¿Qué coordenadas tienen los vértices?. Si colocas un vértice en el origen, ¿qué coordenadas tienen los otros tres vértices?.
Francisco Lajas González
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2003