INTRODUCCIÓN A LAS DERIVADAS_4
Análisis
 
VIII. A) Ecuación de la recta tangente a una curva en un punto.

Como recordarás, al interpretar geométricamente la derivada de una función en un punto, obteníamos el siguiente resultado:

La derivada de una función en un punto coincide con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto.

Por tanto, si queremos hallar la ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en x=a, disponemos de los siguientes datos (vuelve a mirar la escena de la sección IV):

  • el punto de tangencia es (a,f(a)).
  • la pendiente de la recta es m=f ´(a).

Aplicando la ecuación punto-pendiente de la recta (y-y0=m*(x-x0)) se obtiene que:

La ecuación de la recta tangente a la gráfica de f(x) en el punto x=a es:

y-f(a)=f ´(a)*(x-a)

La siguiente escena representa la función f(x)=(1/6)x3+(1/4)x2-2x+1.

1.-Halla la ecuación de las rectas tangentes a la curva y=f(x) en los puntos A, B, C y D.

 

2.-Para cada una de las rectas halladas, comprueba tu resultado del siguiente modo: arrastra el punto rojo hasta el punto amarillo correspondiente; borra x de la ecuación y=x, y escribe en su lugar la ecuación de la recta calculada (¡en forma explícita!). Pulsa Enter y se dibujará dicha recta en amarillo, que coincidirá exactamente con la recta tangente verde si el resultado es correcto.
VIII. B) Ecuación de la recta tangente a una curva en un punto y   

               paralela a una recta dada

En la siguiente escena aparecen la gráfica y la ecuación de una curva f(x) (en azul) y de una recta (en lila).

1.-Debes hallar la ecuación de la recta tangente a la curva que es paralela a la recta dada. (El ejercicio debes realizarlo para dos curvas y rectas diferentes, 1 y 2, que obtendrás con el pulsador curva. ¡Ojo: en algún caso puede haber más de una recta solución!).

 

2.-Comprueba gráficamente tus resultados: arrastra el punto rojo hasta que la recta tangente verde sea paralela a la recta dada. En la ecuación y=6 borra el 6, y escribe la ecuación de la recta calculada. Si el resultado es correcto, se dibujará la recta amarilla en lugar de la verde.

Para pensar un poco más...

    ...realiza el siguiente ejercicio:.
1.-Determina la ecuación de la parábola y=ax2+bx+c que es tangente en el punto A a la recta dada, y que pasa por el punto B. (Debes resolver el ejercicio en dos supuestos distintos, 1 y 2, que obtendrás con el pulsador curva).

 

2.-Comprueba gráficamente tus resultados: introduce (directamente, o con los pulsadores) los valores a, b y c que has calculado, y activa el botón dibujar. Se dibujará en amarillo una parábola, que debe coincidir con la de color verde que pasa por A y B.

¿Cansad@ de calcular derivadas? ¡Relájate!

     
         
  Maribel Muñoz Molina
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2002