INTRODUCCIÓN A LAS DERIVADAS_3
Análisis
 
VI. Función derivada.
Hemos estudiado cómo calcular la derivada de una función f(x) en un punto x=a. Si ahora queremos calcular la derivada de f(x) en dos o más puntos, tendremos que repetir los cálculos para cada uno de ellos.

La forma de evitar la repetición de los cálculos es determinar la función derivada para un punto x genérico, y después sustituir los puntos deseados.

Para comprender el concepto de función derivada observa la escena siguiente:

1.-Arrastra el punto rojo a con el ratón, o modifica su valor con el pulsador: para cada valor a se calcula el valor correspondiente f´(a). Observa el punto P´(a,f(a)) y el rastro que va dejando; dicho rastro dibuja la gráfica de una nueva función: es la función derivada (para ver la gráfica completa de la función derivada, así como su ecuación, utiliza el pulsador f. derivada).

Por tanto, se llama función derivada de f(x) a una función que asocia a cada abscisa x la derivada de f en dicho punto. Se representa por f´(x), y se calcula:

Para calcular el límite anterior se aplica la regla de los cuatro pasos, pero utilizando un punto genérico x (en lugar de un valor concreto a). En el siguiente ejemplo se calcula la función derivada de la de la escena anterior:

A partir de la función derivada, se puede obtener rápidamente la derivada en cualquier punto. Así, para la función del ejemplo: f´(1)=-1+2=1; f´(2)=-2+2=0; etc.

2.-Calcula f´(-1), f´(-2), f´(0), etc, y comprueba tus resultados en la escena.

(Nota: no se debe confundir los conceptos de derivada de una función en un punto, que es un número real, con función derivada, que es una función. Por comodidad en el lenguaje se suele utilizar la palabra derivada para nombrar ambos conceptos. Es el contexto el que nos indicará si derivada se refiere a una u otra acepción.)

EJERCICIOS.

3. Halla la función derivada de cada una de las siguientes funciones:
f(x)= -2x+5    g(x)=x2-2x-3    h(x)=1 / x    j(x)=raíz(x).

4. Halla la función derivada de una función constante cualquiera f(x)=k (k es un número real).

5. Halla la función derivada de f(x)=x y f(x)=x2.
VII.a) Algunas reglas básicas de derivación.
Hasta ahora, la obtención de la derivada de una función ha sido un proceso largo, que requería el cálculo de un límite.

Sin embargo, se puede simplificar notablemente si conocemos las derivadas de funciones elementales, y las derivadas de funciones que son resultado de operaciones (suma, producto, etc. de funciones). Todos estos resultados se conocen con el nombre de reglas de derivación.

En ejercicios anteriores has obtenido algunas de estas reglas:

  • la derivada de una función constante f(x)=k es f ´(x)=0.
  • la derivada de la función identidad f(x)=x es f ´(x)=1.
  • la derivada de la función f(x)=x2 es f ´(x)=2x.

Ampliaremos a continuación estos resultados con la obtención de la derivada de la función potencial
f(x)=xn (siendo n un número real).

En la escena siguiente, utiliza el pulsador n para obtener sucesivamente las funciones f(x)=x, f(x)=x2,
f(x)=x3, etc.

1.-Para cada valor de n, arrastra el punto rojo a (o utiliza el pulsador). El punto P´(a,f´(a)) deja un rastro, que dibuja la función derivada correspondiente. (Cuando cambies el valor de n, pulsa el botón Limpiar para borrar el rastro de la función anterior).

 

2.-Para cada valor de n, observa la expresión de la función f(x) y la de su derivada f´(x). Deduce una fórmula general para la derivada de la función f(x)=xn.
Otras dos reglas básicas de derivación son:
  • la derivada de una constante por una función es igual a la constante por la derivada de la función: [k f(x)]´=k f ´(x)
  • la derivada de una suma de funciones es igual a la suma de las derivadas de dichas funciones: [f(x)+g(x)]´=f ´(x)+g ´(x)

Estas dos reglas, junto con la deducida en la escena anterior:

f(x)=xn ______> f ´(x)=nxn-1

nos permiten derivar cualquier función polinómica. Por ejemplo:

f(x)=2x4+5x3-4x2+7 ______> f ´(x)=2*4x3+5*3x2-4*2x+0 = 8x3+15x2-8x

(En el próximo tema ampliaremos las reglas de derivación para más tipos de funciones y operaciones).

VII. B) DERIVADAS DE LAS FUNCIONES POLINÓMICAS 
En la siguiente escena vas a calcular la derivada de funciones polinómicas de grado menor o igual que 4.
1.-Pulsa el botón Animar. Aparecerá la gráfica de una función f(x) (en verde), y su derivada f´(x) (en rojo). Observa los coeficientes a, b, c, d, e, y escribe en tu cuaderno la expresión de f(x) que resulta.

2.-Halla la derivada de f(x). Borra en la escena la expresión f´(x) que aparece en color gris, y escribe (justo después de y=) la derivada que has calculado.

3.-Pulsa Enter. Si tus cálculos son correctos, aparece una curva gris que debe sustituir exactamente a la curva roja (si no desaparece la curva roja es que la derivada no es correcta; corrígela y pulsa Enter de nuevo.

4.-Vuelve a pulsar el botón Animar para comenzar el ejercicio con una nueva función (no te preocupes por la curva gris que permanece en pantalla).

5.-Repite el proceso con un mínimo de diez funciones.

       
           
  Maribel Muñoz Molina
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2002