INTRODUCCIÓN A LAS DERIVADAS_2
Análisis
 
IV. A) Interpretación geométrica de la derivada.
En la siguiente escena se representan:
  • una función y=f(x) (en azul).
  • dos puntos por los que pasa la gráfica: P(a,f(a)) y Q(a+h,f(a+h)).
  • la recta que pasa por P y Q, y que por tanto es secante a la gráfica de f(x).

Recuerda que la pendiente de una recta es igual a la tangente del ángulo A que forma dicha recta con el eje OX. Por tanto: la pendiente de la recta secante que pasa por P y Q coincide con la T.V.M. de f(x) en el intervalo [a,a+h].

1.-Arrastra el punto a+h con el ratón, acercándolo al punto a (es decir, haciendo que h tienda a cero), y observa lo que ocurre: el punto Q se aproxima cada vez más al punto P, y en consecuencia, la recta secante PQ acaba convirtiéndose en la recta tangente a f(x) en el punto P.

Como la derivada es el límite de las T.V.M. cuando h tiende a cero, resulta que:

La derivada de una función en un punto coincide con la pendiente de la recta tangente a la gráfica de la función en dicho punto.
IV . B) LA RECTA TANGENTE 

La siguiente escena muestra una curva y=f(x) y la recta tangente en diversos puntos de la misma:

1.-Arrastra el punto rojo con el ratón a lo largo de la curva; observa la recta tangente en cada punto, y su ecuación. Averigua cuál es el valor de: f´(-3), f´(-2), f´(-1), f´(0), f´(1), f´(2), f´(3) y f´(4). ¿En qué puntos la derivada es positiva? ¿En cuáles negativa? ¿En qué puntos vale 0?

Con la actividad anterior has debido llegar a la conclusión de que el signo de f ´(a) determina el carácter creciente o decreciente de la función f(x):
  • si f(x) es creciente en x=a, entonces f ´(a)>0 (recta tangente con pendiente positiva).
  • si f(x) es decreciente en x=a, entonces f ´(a)<0 (recta tangente con pendiente negativa).
  • si f(x) presenta un máximo o mínimo en x=a, entonces f ´(a)=0 (recta tangente horizontal).
V. Cálculo de la derivada en un punto: regla de los cuatro pasos.
En el apartado III has calculado algunas derivadas por aproximaciones sucesivas (haciendo una tabla de valores).

Para funciones sencillas es fácil calcular la derivada en un punto aplicando directamente la definición:

El límite anterior se puede calcular de forma ordenada y sistemática, siguiendo la llamada regla de los cuatro pasos. Esta regla aparece esquematizada en la siguiente escena (utiliza el pulsador paso):

1.-Estudia y toma nota de cada paso, y después analiza el siguiente ejemplo:

 

EJERCICIOS.

2. Dada la función f(x)=2x2-3x, calcula f´(1) y f´(2).

3. La trayectoria de un móvil en función del tiempo viene dada por la función e(t)=t2-t. Si t se mide en segundos y e en metros, halla:
    a) La velocidad media entre t=1 y t=6.
    b) La velocidad real en el instante t=4.

4. Halla la pendiente de la recta tangente a la curva f(x)=3 / (x-2) en el punto de abscisa x=4.

       
           
  Maribel Muñoz Molina
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2002