GRECIA HEROICA II
Historia
 
1. HIPIAS DE ELLIS
Hipias de Ellis (460 aC): a diferencia de los pitagóricos, este maestro era un sofista; es decir, cobraba por enseñar a sus discípulos. Se habla de él en los Diálogos de Platón, quien lo describe como un sofista insustancial, codicioso y vanidoso. Proclo le atribuye la invención de la primera curva distinta de la circunferencia, la trisectriz o cuadratriz de Hipias, que permite dividir un ángulo en tres partes iguales. También puede ser utilizada para cuadrar el círculo, aunque esa aplicación la demostró Dinostrato un siglo después.

Trisectriz de Hipias

Mientras que a recorre el círculo con velocidad uniforme, b recorre el segmento con velocidad también uniforme. Cada punto de la curva hace corresponder un arco con un segmento que son recorridos en el mismo intervalo de tiempo

Aquí puedes ver cómo se divide el ángulo en partes iguales utilizando la trisectriz de Hipias
2. FILOLAO DE TARENTO
Formado por algún discípulo de Pitágoras que había  huido de Crotona y refugiado en Tarento, se le atribuye el primer escrito sobre el pitagorismo en el que se informó Platón sobre la escuela pitagórica. Defendía el misticismo numérico y en su obra aparece el significado de la tetractis y la cosmología pitagórica

 

 

 

Derecha: sello de S. Marino, homenaje a Pitágoras 
3. ARQUITAS DE TARENTO
 Fue discípulo de Filolao y escribió sobre las proporciones, estudiando las medias aritmética, geométrica y armónica. Se interesó por la música en la educación de los niños y se le atribuye la clasificación del quadrivium en aritmética (los números en reposo), geometría (las magnitudes en reposo), música (los números en movimiento) y astronomía (magnitudes en movimiento). Se le atribuye una solución tridimensional a la duplicación del cubo.
Cuenta la leyenda que los atenienses enviaron al oráculo de Delos una delegación para averiguar cómo detener la plaga de peste que asolaba la ciudad. El oráculo respondió que debían levantar un altar nuevo para Apolo, un nuevo cubo cuyo volumen fuera el doble del actual. Los atenienses duplicaron las dimensiones pero lo que consiguieron fue un cubo de volumen 8 veces mayor y la peste siguió cobrando nuevas víctimas.
Pulsa sobre la escena con el botón derecho del ratón y se despliega un menú. Usa el zoom y los ejes cuando lo necesites

Hipócrates había demostrado que el cubo era duplicable siempre que existieran curvas que verificasen las igualdades a/x=x/y=y/2a

Arquitas encontró la solución a través de la intersección de un cono, un cilindro y un toro.

En la escena se ve la solución de Menecmo( s IV aC) descubridor de las cónicas (elipse, hipérbola y parábola) que verifican la condición de Hipócrates: la intersección de las dos parábolas nos da un punto cuya abscisa es el segmento buscado.
5.- HIPASO DE METAPONTO
Fue contemporáneo de Filolao. Al parecer fue expulsado por los pitagóricos por revelar alguno de sus secretos. Algunos creen que se trataba de los segmentos inconmensurables, en los que, al comparar el mayor con el menor, aparecen unas medidas que no son enteras o fracción (ahora se llaman números irracionales). Pudo ser la diagonal del cuadrado, o la del cubo, o en el pentágono regular al comparar el lado con la arista. Pero también pudo ser en el pentágono regular reproduciéndolo indefinidamente a partir de las diagonales. En cualquier, caso el "todo es número" de los pitagóricos había topado con un gran problema pues la razón de la diagonal al segmento mayor no podía ser ni entera ni racional, no podía concebirse como número.
Ahora también puedes mover el punto seleccionándolo con el ratón y arrastrándolo, o bien pulsando las teclas de flechas.

Dentro del pentágono hemos trazado las diagonales. Cada dos diagonales se cortan en un punto y así aparecen 5 puntos nuevos que definen un nuevo pentágono. 

Cada uno de esos puntos cumple una curiosa propiedad: divide a la diagonal en dos segmentos, uno mayor y otro menor, y se cumple que la razón (cociente) de la diagonal y el segmento mayor es igual a la razón de este último con el segmento menor. Esta razón se conoce como el NÚMERO ÁUREO, un número irracional que se puede hallar resolviendo una ecuación de segundo grado y su valor es . En esta figura podemos repetir el proceso en el pentágono interior y obtener un segundo pentágono y volver a empezar en un proceso que no terminaría nunca. 
 
6.- ZENÓN DE ELEA (450 Ac)
Combatió las teorías pitagóricas ideando algunas paradojas basadas en el método dialéctico de razonamiento. Partiendo de las premisas de su oponente razonaba hasta concluir un absurdo ( demostración por reducción al absurdo) Así llegó a concluir que el movimiento no existe. Las más conocidas son: Dicotomía, Aquiles, Flecha y Estadio.

Paradoja del estadio: Aquiles persigue a una tortuga que se encuentra a un estadio de distancia y su velocidad es diez veces la de ésta. Cuando Aquiles ha recorrido el estadio, la tortuga ha avanzado 1/10 de estadio. Cuando recorra este décimo de estadio, ella habrá recorrido 1/100 de estadio. Cuando recorra esta centésima de estadio ella estará a 1/1000 de estadio etc. Por tanto Aquiles nunca alcanzará a la tortuga 

Sabiendo que esto es imposible algo fallaba en el razonamiento de Zenón. Sus contemporáneos no eran capaces de refutar sus argumentos. Por esta causa las demostraciones basadas en infinitos infinitésimos fueron rechazadas sistemáticamente hasta un siglo más tarde.

7.- DEMÓCRITO DE ABDERA (460 Ac)
Es conocido como filósofo materialista por su teoría atómica pero también fue un buen geómetra. Era un gran viajero y escritor; sus obras, según Cicerón, además de claras, eran más poéticas que las de los poetas. Se conocen algunos títulos como Sobre los Números, Sobre la Geometría, Sobre Tangencias, Sobre Proyecciones, Sobre los Irracionales, pero no se conservan. Su aportación a las matemáticas se refiere al método infinitesimal. Así, demostró que el volumen de la pirámide es igual a un tercio del área de la base por la altura, fórmula que ya utilizaban los egipcios. Parece ser que dividió un prisma en tres pirámides de bases iguales y alturas iguales y tras seccionarlas infinitas veces por planos paralelos a las bases hizo corresponder una a una estas secciones, resultando así volúmenes iguales. La conclusión es inmediata, aunque se puede objetar que así se obtienen unos cuerpos escalonados y no las pirámides lisas. Queda, eso sí, la novedad del método utilizado para resolver el problema, base del cálculo infinitesimal

 

Sello griego con el busto de Demócrito y una referencia a su teoría atómica en la que afirma que la materia no es infinitamente divisible. Fue un gran geómetra.

 

 
 
       
           
  Rosa Jiménez Iraundegui
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2001