EUCLÍDES:  LOS ELEMENTOS
Historia
 
1. CARACTERÍSTICAS DE LA ÉPOCA
A la muerte de Alejandro Magno sus generales se disputan y reparten los territorios griegos. Ptolomeo I se queda con Egipto, Seleuco y Lisímaco con Siria y el Este y Antígono y Casandro con Macedonia. Ptolomeo funda la escuela de Alejandría, conocida como el Museo, y logra atraer a los principales sabios de la época. Atenas pierde interés y el centro cultural se traslada a Egipto. Entre sus profesores destaca la figura de Euclídes, el autor del libro de texto de matemáticas más comentado hasta nuestros días, los Elementos 

No se tiene información sobre la vida de Euclídes; se le conoce como Euclides de Alejandría por ser en esta ciudad donde desarrolló su obra. En ella aborda la tarea de recoger todos los conocimientos de matemática elemental pero lo fundamental es la presentación que hace de éstos. Su propósito es incluir aquellos resultados que pueden deducirse, usando razonamientos lógicos, del menor número posible de afirmaciones y siempre con una finalidad didáctica. 

La obra consta de 13 libros sobre:6 sobre geometría plana elemental ( 4 referidos a triángulos, paralelas, áreas, álgebra geométrica, círculos y figuras inscritas y circunscritas a un círculo y otros 2 sobre teoría de las proporciones y semejanza de figuras),4 sobre teoría de números ( incluido uno sobre los inconmensurables) y 3 sobre geometría de sólidos (sólidos geométricos, medida de figuras y sólidos regulares)

La obra empieza con 23 definiciones ( punto, línea, superficie, línea recta, ángulo recto, agudo y obtuso, perpendicular etc) una lista de 5 postulados y otra de 5 nociones comunes ( prácticamente serían 10 resultados que no precisan demostración por ser evidentes, los llamaremos axiomas). A partir de aquí todos los libros contienen proposiciones que pueden ser demostradas y se demuestran basándose en estos axiomas o en las proposiciones anteriores. 

Veamos algúnos ejemplos

2.- CONSTRUIR UN TRIÁNGULO EQUILÁTERO SOBRE UN SEGMENTO: LIBRO1 PROPOSICIÓN 1
En esta escena vas a ver cómo es posible construir un triángulo equilátero sobre un segmento dado.

En las demostraciones se utilizan abreviaturas para hacer referencia a las cuestiones previas que permiten progresar en la demostración. Los números romanos se refieren al libro, Def n a definición con su número, Post n a postulado con su número, Prop n a proposición con su número y NC n a nociones comunes con su número  Puedes cambiar el valor de A y BC.  

1.- PROPOSICIÓN:  Sea AB el segmento dado. Se trata de construir un triángulo equilátero ABD sobre el segmento AB.

2.- DEMOSTRACIÓN:

Dibuja el círculo de centro A y radio AB  Post 3 

Dibuja el círculo de centro B y radio AB  Post 3 

Dibuja los segmentos BC y AC siendo C el punto donde se cortan los círculos                Post 1

AC=AB y

BC=BA por ser radios del mismo círculo  def 15

Y AB=BA por tener los mismos extremos Post 1

Y como cosas que son iguales a una tercera son iguales entre sí                                   NC 1

Por tanto AC=BC =AB y el triángulo es equilátero.

3. CONSTRUIR UN SEGMENTO EN UN PUNTO A IGUAL A OTRO SEGMENTO BC: LIBRO 1 PROPOSICIÓN 2 
En esta escena puedes ver la construcción de un segmento rectilíneo AH a partir de un punto A y cuya medida coincide con la de otro segmento BC dado.
1.- PROPOSICIÓN:  Sea BC el segmento y A el punto. Se trata de construir un segmento rectilíneo AH cuya medida coincide con la de BC.

2.- DEMOSTRACIÓN:

Traza el segmento AB                         Post 1

Dibuja el triángulo equilátero ABD          Prop1 

Prolonga los segmentos DA yDB            Post 2

Construye el círculo de centro B y radio BC y el círculo de centro D y radio DG              Post 3

BC=BG y

DH=DG por ser radios del mismo círculo   def 15

 BG=AH  ya que estamos restando segmentos iguales a segmentos iguales                 NC 3

Pero cosas que son iguales a una tercera son iguales entre sí                                   NC 1

Por tanto AH=BC es el segmento buscado

4. PROPIEDAD DISTRIBUTIVA: LIBRO2 PROPOSICIÓN 1

Sean los segmentos rectilíneos A y BC, y dividimos BC en un número arbitrario de segmentos cualesquiera; entonces el rectángulo definido por los dos segmentos iniciales es igual a la suma de los rectángulos definidos por el segmento sin dividir A y cada uno de los segmentos en que se ha dividido el otro.

En la escena puedes ver esta propiedad para el caso en que se divide en dos segmentos. Es el que más se utiliza en los libros de texto dentro de la teoría de números. Euclides le da un tratamiento geométrico pero en álgebra aparece enunciado : a(b+c)=ab+ac

Puedes cambiar el valor de A y BC. Para ello arrastra  con el botón izquierdo del ratón los puntos de color azul. Pulsando el botón derecho se despliega un menú que te permite centrar la escena.

DEMOSTRACIÓN: parte de A y BC y divide BC en 2 partes

Dibuja un ángulo recto sobre el segmento BC  I,11

Haz BG igual a A y dibuja GH paralela a BC      I,3

Desde D y C dibuja DE y CH paralelas a BG     I,31

Entonces el rectángulo BH es igual a la suma de los rectángulos BE y DH ya que:

Sus lados son BC y A pues BG=A   II, Def 1; I, 34

Los lados de BE son BD y A pues GE=BD y BG=A

Igualmente en DH sus lados son DC y A 

Por tanto el rectángulo de lados A por BC es igual a la suma de los rectángulos A por BD y A por DC
       
           
  Rosa Jiménez Iraundegui
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2001