ACADEMIA 1
Historia
 
1. DINOSTRATO: LA CUADRATURA DEL CÍRCULO
Demuestra que la trisectriz de Hipias resuelve este problema al descubrir que el lado del cuadrado es media proporcional entre el cuarto de circunferencia AC y el segmento DQ. 

La demostración por reducción al absurdo tiene varias etapas que se ilustran en las escenas siguientes
1.- Hipótesis: AC/AB=AB/DR siendo R>Q    (1)

Trazamos la circunferencia de centro D y radio DR que corta a la trisectriz en S y al lado del cuadrado en T. Tomamos la perpendicular SU al lado DC por el punto S y como los arcos son proporcionales a los radios se cumplirá AC/AB=TR/DR              (2)

De (1) y (2) se deduce que TR=AB          (3)

S es punto de la trisectriz cumplirá 

TR/SR=AB/SU                                      (4)        

De (3) y (4)  SR=SU

Pero esto es absurdo por ser la perpendicular la distancia más corta de un punto a una recta. La conclusión es que DR no puede ser mayor que DQ.

2.- Se repite el razonamiento con la hipótesis R<Q y también se llega a un absurdo. 

3.- Conclusión AC/AB=AB/DQ, esto significa que AB·AB=DQ·AC y AC es la cuarta proporcional de los otros tres segmentos rectilíneos

Ten en cuenta que estamos construyendo una proporción en la que interviene un segmento curvilíneo y tres rectilíneos 

 
2. CONSTRUCCIÓN DE LA CUARTA PROPORCIONAL
En esta escena puedes ver la construcción de un segmento rectilíneo cuya medida coincide con la de AC, esto es un cuarto de circunferencia.
4.- Se trata de construir un segmento rectilíneo que sea cuarta proporcional de AB, AB y DQ y para ello debe cumplir AB·AB=DQ·AC 

Observa que la recta que pasa por A y Q va a ser la diagonal del rectángulo QCPS que lo divide en dos partes iguales. Comparando las dos mitades se ve que el cuadrado ABCD tiene la misma área que el rectángulo ARST ya que los triángulos son iguales dos a dos.

5.-Puesto que los segmentos rectilíneo y curvilíneo son ambos cuarta proporcional de la misma proporción, tienen que ser iguales
3. CUADRATURA DEL CÍRCULO: EL CUADRADO DE IGUAL ÁREA QUE EL CÍRCULO
Eudoxo había demostrado por reducción al absurdo que el área del círculo es igual a la mitad de su circunferencia por el radio. El rectángulo de lados a y 2b, siendo 2b el segmento rectilíneo que coincide con la semicircunferencia, tiene un área igual al círculo. Con este rectángulo es fácil obtener un cuadrado de igual área mediante la obtención de la media proporcional de a y 2b.
6.-Usando las fórmulas del área del círculo el cuadrado y el rectángulo puedes comprobar que las figuras dibujadas tienen todas la misma área . Halla las medidas de q, b y d ,S1 S2 y S3.
4. TEODORO DE CIRENE. CONSTRUCCIÓN DE SEGMENTOS DE MEDIDA IRRACIONAL

Este procedimiento permite construir segmentos de medida raíz de n. Utiliza segmentos de medida raíz de n-1 y 1 y está basado en el teorema de Pitágoras. 

7.- Observa que el extremo va definiendo una línea que recuerda a una espiral

Puedes cambiar el valor de a. Para ello pulsa inicio, modifica el valor de a y activa la animación.

8.- Se puede acortar el proceso empezando por el cuadrado más cercano al número cuya raíz quieres construir. Por ejemplo, para 19 puedes empezar usando 16, es decir empezar con el segmento que mide 4, y seguir con 17 y 18 hasta llegar a 19.
       
           
  Rosa Jiménez Iraundegui
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2001