TEOREMA DE PITÁGORAS | ||
Historia | ||
1. TEOREMA DE PITÁGORAS: LIBRO 1 PROPOSICIÓN 47 | |||
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DEMOSTRACIÓN:
Sea ABC el triángulo y BAC el ángulo recto.
Se construyen los cuadrados BDEC sobre BC, GB y HC sobre BA y AC. Dibuja AL paralela a BD o CE, y también AD y FC. I 46; I 31; Post. 1; Los ángulos BAC y BAG que son rectos en A I Def 22; y cada uno a un lado del segmento BA, son adyacentes y suman dos rectos; por tanto CA y AG están en el mismo segmento I 14; Por la misma razón BA está en el mismo segmento que AH El ángulo DBC es igual a FBA por ser rectos. Si les sumo a ambos el ABC resultarán tambien iguales. Por tanto DBA es igual a FBC I Def 22; Post 4; N.C.2; Ya que DB es igual a BC y FB igual a BA, los lados AB y BD serán iguales a los lados FB y BC respectivamente; y como el ángulo ABD es igual al ángulo FBC, los dos triángulos son iguales.I Def 22; I 4; Además el paralelogramo BL es doble del triángulo ABD por tener la misma base y estar en las mismas paralelas BD y AL. Y el cuadrado GB es el doble del triángulo FBC por tener la misma base y estar en lados paralelos I 41; |
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Por
tanto el paralelogramo BL también será igual al cuadrado GB.
Del mismo modo el paralelogramo CL es igual al cuadrado HC. Como el cuadrado BDEC está construido sobre BC y los cuadrados GB sobre BA y HC sobre AC, entonces el cuadrado sobre el lado BC es igual a la suma de los cuadrados sobre GB y HC. N.C.2; Además el cuadrado BDEC está construido sobre BC y los cuadrados GB y HC sobre BA y AC. Por tanto el cuadrado construido sobre BC es igual a la suma de los cuadrados construidos sobre BA y AC |
2. TEOREMA DE PITÁGORAS: LIBRO 1 PROPOSICIÓN 48 | ||
En esta
proposición Euclides se preocupa por demostrar el recíproco
del teorema de Pitágoras.
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DEMOSTRACIÓN: Supongamos que el cuadrado sobre BC es igual a la suma de los cuadrados sobre AC y AB Desde el punto A dibuja AD en ángulo recto con el lado AC, haz AD igual a BA y une D con C. I 11; I 3 y Post 1; Como DA es igual a AB el cuadrado sobre DA es igual al cuadrado sobre AB Añade el cuadrado sobre AC a ambos y se cumple que la suma de los cuadrados sobre AC y AD es igual a la suma de los cuadrados sobre AC y AB. C.N.2; Pero el cuadrado sobre DC es igual a la suma de los cuadrados sobre AC y AD por ser el ángulo recto, y el cuadrado sobre BC es igual a la suma de los cuadrados sobre AB y AC por hipótesis, entonces el cuadrado sobre CD es igual al cuadrado sobre BC y por tanto el lado BC es igual a CD. I 47; Como el lado DA es igual a AB, el lado AC es común, y el lado CD igual a CB, el ángulo BAC será igual al ángulo DAC. Como el ángulo DAC es recto entonces el ángulo BAC es también recto. |
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Rosa Jiménez Iraundegui | ||
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2001 | ||