No teu caderno de traballo, toma diversos valores de x e acha o seu cadrado (táboa de valores).

Ó representar sobre uns eixes cartesianos a táboa de valores da función obteremos unha aproximación da súa gráfica.

Compara a forma da gráfica que tes no teu caderno de traballo e a que obtés agora. Disminúe a escala hasta 5 e volve a modificar os valores de x.

Pulsa o botón Inicio e amplía a escala hasta 150. Volve a variar os valores da abscisa desde os negativos ós positivos.

Fai que se representen puntos intermedios entre os xa representados, por exemplo, 0.05, 0.15, -0.05, -0.15, etc.

Características da función  y=x²

• Trátase dunha curva simétrica respecto ao eixe Y; ten un mínimo no punto (0,0), ao que chamamos vértice.
• Ten dúas ramas, unha decrecente e outra crecente.
• É unha función definida en todo R e continua.

Modifica os valores de x para valores maiores e menores que cero facendo clic nas frechas. (Tamén podes escribir un valor concreto de x borrando o actual).

Deberás darte conta de cómo chegar a representar funcións como y=x²+3, (donde k=3), y=x²+7, (donde k=7) e y=x²-4, (donde k=-4), a partir da función que obtivemos na actividade anterior.

Para representar as funciones anteriores na escena, dalle a k directamente o valor que necesitas; (varía a escala se non logras ve-la función).

Apunta no teu caderno as coordenadas dos vértices das parábolas obtidas.

Intenta deducir cómo se poden deducir esas coordenadas mirando só á ecuación. Completa-la seguinte frase axudaráche:

A función y = x² + k é unha traslación dos puntos de y = ....... na dirección do eixe de ......... O vértice de y = x² + k é (..,..).

1.- Representa as seguintes funcións no teu caderno, sin necesidade de dar valores á x, seguindo o modelo de y = x²: y = x² - 5,             y = x² + 9.

Vamos a representa-las gráficas de diversas funcións y = (x + h)² para distintos valores de h, non xa como unha sucesión de puntos, senón como liñas continuas e a darnos conta de que teñen a mesma forma que y=x², pero obtéñense a partir désta mediante unha serie de traslacións na dirección dun dos eixes.

Podes modificar os valores de k e de h mediante as frechiñas ou ben escribindo os seus valores. Varía a escala si non logras ve-la función.

Dalle valores positivos e negativos a h. Apunta no teu caderno as diferentes funcións y=(x+h)² que vas dibuxando coa escena e os vértices de cada unha delas.

Agora date conta dos valores iniciais que teñen k e h, que son 3 e -5, respectivamente. Modifica estos valores coas frechas para que sexan cero en ámbolos casos e observa que ó modificar os seus valores iniciais, o único que fas é trasladar as gráficas respectivas sobre os eixes. Finalmente  confúndense nunha sóa con y=x², porque teñen a mesma forma.

Completa a seguinte frase: A función y = (x + h)² é unha traslación dos puntos de y= .............. na la dirección do eixe de .................... O vértice de y = (x + h)² é (....,....).

A expresión analítica destas funcións é un polinomio de segundo grao, é dicir, unha expresión do tipo.

sendo a, b e c números reais calqueira con a distinto de cero. (Observa que se a=0 trataríase da función lineal y=bx+c).

Cando unha función é deste tipo díse que a y depende cuadráticamente da x. A gráfica deste tipo de funcións é unha curva denominada parábola. Sin máis que variar a , b e c na imaxe adxunta, obterás distintas funcións cuadráticas. Contesta ás preguntas que se che plantexan ó marxe referentes as súas propiedades.

2.- Modifica os valores de a, b e c e intenta atopar un significado gráfico para cada un deles. ¿Qué aspectos da gráfica varían ó modificar algún desos tres parámetros?

3.- Determina o dominio e o percorrido de calquera función cuadrática en función dos valores dos tres parámetros.

4.- Estudia os seus intervalos de monotonía e os seus extremos relativos. ¿Qué pasa se a é negativo?

5.- Estudia as súas posibles simetrías. ¿Son funcións pares, impares ou ningunha de ámbalas cousas?

6.- ¿Son funcións acotadas? Se a resposta é afirmativa, ¿superior, inferiormente ou ámbalas cousas á vez? Determina os seus extremos absolutos (se os ten).

As funcións  y = ax² + bx + c, con a>0 ou a<0, chamadas cuadráticas, represéntanse todas elas mediante parábolas e son continuas en todo R.

Cada unha destas parábolas ten un eixe paralelo ó eixe Y.

• Se dúas funcións cuadráticas teñen o mesmo coeficiente de x²  , as parábolas correspondentes son idénticas, aínda que poden estar situadas en posicións distintas.
• Se a>o, teñen as ramas cara a arriba e chámanse parábolas convexas.
• Se a<0, teñen as ramas cara a abaixo e chámanse parábolas cóncavas.
• Canto maior sexa ¦a¦, máis estilizada é a parábola.

Vexamos algúns dos pasos que convén dar para a representación de y = ax² + bx + c:

1º) A abscisa do vértice é -b/2a

2º) Obtención dalgúns puntos próximos ó vértice.

Calcularemos o valor da función en abscisas enteiras próximas ó vértice, a súa dereita e a súa esquerda. Así obtense a curva na súa parte máis interesante

3º) Puntos de corte cos eixes.

Con eles complétase a información sobre os puntos máis relevantes da gráfica.

• Corte co eixe X: resólvese a ecuación ax²+bx+c=0
• Corte co eixe Y: é o (0,c)
  

Vexamos unha aplicación práctica. Trátase dun problema económico:

Temos que cercar unha finca rectangular que linda cunha carretera. O valado que queremos poñer do lado da carretera costa a 24 euros/metro e a que queremos poñer nos outros tres lados costa a 12 euros/metro. Trátase de averiguar qué dimensións debe ter a finca para que a súa área sexa máxima, sabendo que temos un orzamento de 4320 euros.

Vexamos primeiro o plantexamento do problema. Se chamamos "x" ó lado da finca que linda coa carretera e "y" ó outro lado, trátase de achar o valor máximo da función Área = xy. Trátase dunha función de dúas variables que non  estudiamos aínda, pero o problema danos algúns datos que nos permiten atopar unha relación entre x e y, esa relación é a seguinte:

e despexando y temos

e, polo tanto, a área ven representada pola función cuadrática

A gráfica da esquerda é unha simulación das posibilidades do problema, supoñendo co eixe X é a carretera. A gráfica da dereita mostra a gráfica da función área e o noso obxectivo é achar o valor de x para o cal  esa función ten un máximo. É dicir, debemos achar o máximo absoluto desta función (que neste caso será tamén relativo).