DÉRIVÉES. APPLICATIONS. OPTIMISATION
Analyse
 

2. MÉSURE DE LA CROISSANCE D'UNE FONCTION
Les deux fonctions qui apparaissent au début de ces scènes se développent de la même manière, 3 unités, entre les points A et B. Cependant sa croissance moyenne est très différente.
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Vous pouvez déplacer avec la souris les points A et B pour voir comment la croissance moyenne varie dans chacune des fonctions pour aller de A à B.

Observez que quand le segment AB est plus vertical, la pente est supérieure et pourtant la croissance moyenne est aussi grande.

Nous pouvons dire que si la croissance moyennne est plus grande, la fonction augmente rapidement.


TAUX DE VARIATION MOYENNE

On appelle Taux de Variation Moyenne [TVM] d'une fonction, y=f(x), dans un intervalle [a,b] au quotient:

Le TVM de f(x) en [a,b] c'est la pente du segment qui unit les points A(a,f(a)) et B(b,f(b))


(C'est ce qu'on a appellé auparavant croissance moyenne)

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Dans cette scène vous pouvez voir en jaune, les segments representés sur l'axe X, a et b, et les segments sur l'axe Y, f(a) et f(b).

Vous pouvez déplacer les abscisses des points A et B, ceci c'est a et b, ou changer les valeurs des paramètres a et b, et vérifier, dans chaque cas, quelle est le TVM dans l'intervalle [a,b]

Calculez dans votre cahier le TVM de la fonction y=5x-x2 dans les intervalles suivants:

a) TVM[1,2]

b) TVM[1,3]

c) TVM[1,4]

d) TVM[1,5]

Après vérifiez vos résultats dans la scène, puisque cette fonction c'est celle que vous pouvez voir en elle-même.


LA CONSOMMATION D'UNE VOITURE

Dans un magazine d'automobiles apparaît la graphique suivante, pour exprimer la consommation d'essence d'un certain type de véhicule selon la vitesse à laquelle il est en mouvement.

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Observez que quand on consomme moins c'est environ 50 km/h. Et à mesure que la vitesse augmente, la consommation d'essence augmente considerablement.

Quand nous disons que la consommation augmente à mesure qu'augmente la vitesse, nous disons que la fonction est croissante et si nous voulons savoir combien de "fortement" augmente il faudra detérminer le Taux de Variation Moyenne de la fonction, c'est-à-dire la croissance moyenne.

Avec l'aide de la scène calculez les suivants TVM:

TVM[60,80]

TVM[80,100]

TVM[100,120]

TVM[120,140]

Vous pourrez vérifier que quoique l'amplitude des intervalles soit la même, les variations moyennes de la consommation sont différentes. Quelle conclusion tirez-vous de  la consommation d'essence selon la vitesse de la voiture?

Faites attention à la forme de la courbe et on verra que la croissance moyenne est plus grande quand la courbe est plus verticale.


AUTRE MANIÈRE D'EXPRIMER LE TAUX DE VARIATION MOYENNE

Fréquemment, à l'intervalle que nous étudions [a,b], on l'appelle moyennant l'expression [a,a+h], en appelant ainsi à un extrémité de l'intervalle, a, et à sa longueur, h. De telle manière que b=a+h, et pourtant h=b-a

Dans tel cas, le Taux de Variation Moyenne est obtenu ainsi:

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Nous calculerons le TVM de la fonction donnée dans cette scène dans un intervalle avec l'origen en 1 et avec longueur variable, h. C'est-à-dire dans l'intervalle [1,1+h]

On doit calculer:

Nous commençons à calculer: f(1+h) et f(1):

f(1+h)=5(1+h)-(1+h)2=5+5h-(1+2h+h2)=4+3h-h2

f(1)=5.1-12=4

Observez que, maitenant, si nous donnons à h les valeurs 1, 2, 3 et 4, respectivement, nous obtenons les TVM suivants:
TVM[1,2], TVM[1,3], TVM[1,4], TVM[1,5], que nous avons calculé précédemment. Vérifiez que les résultats correspondent à cette scène et dans celle de l'exemple que nous avons étudié précédemment.


  Índice de la unidad   Iniciciación al cálculo de derivadas   Crecimiento de una función en un punto  
           
  Ángela Núñez Castaín
Version française: Rocío Oliver Sánchez, Carme Llaberia Azcón, Joan Carles Fiol Colomar
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Année 2011
 
 

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