CROISSANCE D'UNE FONCTION EN UN POINT

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	Analyse

3. CROISSANCE D'UNE FONCTION EN UN POINT

Esta unidad interactiva requiere la máquina virtual de Java J2RE.

La croissance d'une fonction en un point est donnée d'une façon naturelle par la croissance ou la pente de la droite tangente à la courbe dans ce point.

Il suffit de tracer la tangente au point P que nous voulons, prendre deux points de la même fonction, calculer la variation du y divisé par la variation du x, et de cette manière nous aurons la pente de la tangente, ou ce qui est le même, la croisssance de la fonction dans le point P.

En regardant sur la scène la ligne droite tangente en P, calculez la croissance de la fonction ci-jointe dans les points d'abscisse -1, 0, 1, 2 et 3.

Vérifier sur la scène traînant le point P avec la souris pour chercher les différents points.

Rappellez que cliquant avec la souris à n'importe quel point de la scène vous pouvez voir les coordonnées de la même.

Nous verrons maintenant comment calculer la croissance dans un point de fonctions données pour son expression analytique.

OBTENTION DE LA CROISSANCE DANS UN POINT MOYENNANT T.V.M.

Le TVM d'une fonction dans un intervalle est interprété comme la pente de la corde correspondante.

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Dans cette scène, diminuez la valeur de h et vous obtiendrez différents intervalles, chaque fois mineurs.

De cette manière les points Bi s'approchent au point A.

La tangente est obtenue comme limite des sécantes AB1, AB2,...

Pourtant, la pente de la droite tangente c'est la limite des pentes des sécantes quand Bi A

Vous pouvez voir ceci sur la scène. Les pentes des sécantes succesives s'approchent à la pente de la tangente quand h0

La croissance d'une fonction dans un point est mesurée par la pente de la tangente dans la graphique de la fonction dans ce point. Il s'obtient en calculant la limite suivante:

CROISSANCE PONCTUELLE de f en a =

Cette valeur est appelée dérivée de f en a et elle est désignée par f ' (a)

Pourtant:

EXERCICES

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1.-Trouvons la mesure de la croissance de la fonction y=5x-x², qui apparaît dans cette scène (quand le paramètre fonction de la partie inférieure de la scène =0), dans certains de ses points:

En a=1

TVM[1,1+h]=3-h (nous avons calculé précédemment)

Alors, f '(1) =

En a=0

Alors, f '(0) =

En a=3

Alors, f '(3) =

Vous pouvez vérifier ces résultats sur la scène en donant a aux valeurs appropiés, et en même temps voir comment est la croissance de la fonction à chaque point en observant la droite tangente.

Trouvez la dérivée de cette fonction (y = 5x - x²) dans les points d'abscisse 1, 4 et 5. Écrivez-le dans votre cahier et vérifiez-les dans la scène.

2.- Dans la même scène précédente, si vous donnez au paramètre fonction la valeur 1, il apparaît la graphique d'une fonction. Précisément de:

Trouvons l'équation de la tangente dans cette fonction au point d'abscisse a=4

Il faut calculer

Vous pouvez vérifier dans la scène précédente. Rappelez que vous pouvez déplacer les axes avec les boutons supérieurs, ou changer l'échelle, si vous ne voyez pas la zone de graphique qui vous intéresse. Vous pouvez donner sur le bouton nettoyer pour effacer la trace qui laisse les droites sécantes.

La pente de la droite tangente dans le point de l'abscisse 4 est, donc,

Comme f(4) = 3/2, la droite passe par le point (4, 3/2)

Son équation est, alors,

Trouvez la dérivée de la fonction dans les points des abscisses 1, -1 et 5.

Vous pouvez vérifier sur la scène.

Trouvez aussi les équations des droites tangentes dans ces points, en vérifiant vos résultats dans la scène précédente.

	Ángela Núñez Castaín Version française: Rocío Oliver Sánchez, Carme Llaberia Azcón, Joan Carles Fiol Colomar

	Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Année 2011

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