ÁREA DE POLIEDROS REGULARES Y DE LA ESFERA
Geometría
 

1. INTRODUCCIÓN.

    Aunque ya se ha estudiado el área de un poliedro regular, el cubo o hexaedro, se van a ver, de forma sucinta, las áreas de los demás poliedros regulares, es decir: tetraedro, octaedro, icosaedro y dodecaedro. En este caso ya no se hace referencia a áreas laterales y áreas totales, simplemente se habla del área del poliedro. Esta página es de ampliación del tema y por ello no se van a plantear demasiadas actividades, aunque el cálculo de esas áreas, conocida la arista de una cara, es bastante sencillo en la mayoría de los casos, siempre y cuando recordemos el teorema de Pitágoras.

    En el óltimo apartado se hace referencia al área de la esfera, figura que, a diferencia de las demás, no permite un desarrollo plano. La fórmula del cálculo del área de la esfera, por tanto, es algo más complicada de poder deducir pero se introducirá una idea que ayude a poder comprenderla.


2. ÁREAS DE: TETRAEDRO, OCTAEDRO E ICOSAEDRO

   En la siguiente escena se pueden visualizar los poliedros regulares cuyas caras son triángulos equiláteros. Estos poliedros son: el tetraedro (4 caras), el octaedro (ocho caras) y el icosaedro (20 caras). Para visualizar uno u otro se debe usar el control que presenta un menó, llamado Poliedro. Así mismo se puede variar su tamaño mediante el control Arista cara. Por otra parte, en la escena, aparece una segunda zona en la que se muestra, a escala distinta, una de las caras con sus elementos geométricos característicos.

1.- Pulsad sobre el control Poliedros y marcad tetraedro. Variad los valores de la arista. Observad lo que sucede.

2.- Usando el correspondiente control, visualizad los tres tipos poliedros que se pueden mostrar, manteniendo el valor de la arista igual a 3 cm.

3.- Usando la escena calculad las áreas de varios poliedros regulares cuya arista sea de 1,4 cm.

4.- Comparad las áreas de los poliedros de la actividad 2 (se visualizan en la escena), con el área de una cara. Qué observáis?

5.- Intentad dar una expresión, lo más sencilla posible, que determine el área de cada uno de los tres tipos de poliedros vistos en este apartado.

6.- Un farolillo decorativo tiene forma de icosaedro cuya arista mide 5 cm. Qué cantidad de vidrio se ha usado para su fabricación?


3. ÁREA DEL DODECAEDRO.
  La escena siguiente muestra el dodecaedro, cuyas 12 caras son pentágonos regulares. Aunque no sea un objetivo de este nivel el conocer determinadas expresiones geométricas, debido a que los conocimientos necesarios para su comprensión superan a los propios de este curso, se muestra una de las caras pentagonales y sus elementos geométricos característicos. De todas formas, si se dan como datos la arista y la apotema de una cara, el cálculo del área de dicho poliedro es muy simple.

7.- Variando el valor de la arista, visualizad los dodecaedros y observad todos los valores que aparecen en la escena.

8.- Si un dodecaedro tiene 2 cm. de arista, cuál es su área?

9.- Si os dieran los siguientes datos de un dodecaedro: la arista y la apotema de una cara, explicad como calcularíais su área.

10.- Se quiere construir un modelo de dodecaedro usando plancha de metacrilato. Si dicho modelo debe tener un arista de 6 cm. qué cantidad de metacrilato se desechará si disponemos de una plancha rectangular de 50 x 60 cm.?

11.- Con la ayuda de las escenas de esta página intentad resolver la siguiente cuestión: si tenemos un dodecaedro de 0,8 cm. de arista, cuánto medirá la arista de un octaedro que tenga un área que difiera en menos de una décima de la del dodecaedro?.

12.- Como actividad de ampliación buscad información de cómo se puede calcular el lado y la apotema de un pentágono regular, conocido su radio. Usad esa información y la escena anterior para hallar el área de un dodecaedro de 3 cm. de radio.


4. ÁREA DE LA ESFERA.

  La escena siguiente visualiza esferas, figura que no admite un desarrollo plano, como ya se ha dicho en la introducción de esta página. A pesar de todo se va a intentar que se pueda llegar a poder deducir la fórmula que permite calcular su área usando un método basado en el ideado por Arquímedes. Obtener dicha expresión resulta bastante más sencillo de lo que pueda parecer. La esfera aparece "envuelta" por un cilindro sin bases y, en la parte derecha de la escena, se visualiza un cilindro equivalente al primero.

13.- Anotad, en vuestro cuaderno de trabajo, usando una tabla, los radios y áreas de cinco esferas distintas.

14.- Usad la escena para completar la tabla siguiente:

Radio (cm) Altura Cilindro (cm) Área lateral cilindro (cm2) Área Esfera (cm2)
      12,57
1,30      
      8,04
0,80      
0,50      

15.- Cuál es la relación entre la altura del cilindro y el radio de su base?. Cómo son los valores que aparecen en las dos óltimas columnas?.

16- Cuál es la expresión que permite calcular el área lateral de un cilindro de radio R y altura 2R?

17.- A partir de lo observado en las dos óltimas actividades, intentad deducir una fórmula que permita calcular el área de una esfera conocido su radio.

18.- Comprobad que la fórmula hallada es correcta calculando con ella, las áreas de las esferas cuyos radios aparecen en la actividad 14.


       
           
  Josep M Navarro Canut
 
Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2003
 
 

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