Definición: Se denomina lugar geométrico al conjunto de los puntos del plano que cumplen una determinada condición o propiedad.
Para probar que la figura es el lugar geométrico de los puntos del plano que poseen una determinada condición, es preciso demostrar estos dos teoremas uno recíproco del otro:
i) Que todos los puntos de la figura tienen la propiedad o condición mencionada.
ii) Que todos los puntos que poseen dicha propiedad pertenecen a la figura.
En lugar de este recíproco, se puede demostrar el contrario, ya que la certeza del contrario supone la del recíproco. Así pues, se prueba también la existencia de un lugar geométrico demostrando:
i) Que todos los puntos de la figura tienen la propiedad o condición mencionada.
ii) Que si un punto no pertenece a la figura, no posee la propiedad mencionada.
Los dos problemas fundamentales con los que se encuentra la Geometría analítica son los siguientes:
i) Dada una ecuación, hallar el lugar geométrico de los puntos del plano que se representa.
ii) Dado un lugar geométrico definido por determinadas condiciones, hallar su ecuación matemática.
Uno de los procedimientos más fecundos que se usan en Geometría para la resolución de problemas, se basa en la intersección de lugares geométricos.
Con mucha frecuencia, los problemas geométricos se reducen a determinar un punto que reúna simultáneamente dos propiedades o condiciones. Cuando tales condiciones pueden ponerse de manifiesto mediante dos lugares geométricos, bastará construirlos para obtener el punto, o puntos, de intersección que será la solución del problema.
Es decir, para obtener un punto que satisfaga dos condiciones, haremos lo siguiente:
i) Construiremos el lugar geométrico de los puntos que posean la primera propiedad o condición.
ii) Construiremos el lugar geométrico de los puntos del plano que cumplan con la segunda condición.
Todo punto que se encuentre, a la vez, en los dos lugares geométricos, será la solución del problema.
Existen distintos procedimientos para obtener la ecuación analítica de un lugar geométrico. Un primer procedimiento consiste en suponer que P(x, y) es un punto del lugar. Expresar analíticamente las condiciones que indica el enunciado con lo que obtendremos una ecuación en dos variables f(x, y) = 0 que es la ecuación del lugar. Otro procedimiento consistirá en obtener la ecuación f(x, y) = 0 del lugar por consideraciones geométricas. Un tercer procedimiento consiste en obtener la ecuación f(x, y) = 0 lugar de los puntos P(x, y) como intersección de una familia de líneas j (x, y,l ) = 0 y f (x, y,l ) = 0 en cada una de las cuales se encuentra el punto P(x, y). Eliminando el parámetro l entre j (x, y,l ) = 0 y f (x, y,l ) = 0 obtenemos f(x, y) = 0 que es la ecuación del lugar.
En la determinación de la ecuación de un lugar geométrico es muy importante una adecuada elección de los ejes de coordenadas. Por ejemplo si nos proporcionan un punto fijo, puede convenir elegir dicho punto como origen de un sistema de coordenadas cartesianas. Si nos dan dos puntos fijos será conveniente tomar la recta que los une como uno de los ejes de coordenadas. El otro puede ser la recta perpendicular a dicho eje por el punto medio del segmento determinado por los dos puntos fijos. Lo mismo ocurre si nos proporcionan una recta fija.
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Autor: Antonio Berhó Rodríguez
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Alumno |
| Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2001 | |
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