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Las cónicas | |
El uso de las coordenadas |
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La regla y el compás en las construcciones geométricas | ||
Los matemáticos de la Grecia Antigua (VI – IV a. C.) desarrollaron demostraciones que perduran hasta nuestros días, en las que probaron la irracionalidad de algunos números. El primero con el que se encontraron lo obtuvieron al calcular la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos unidad aplicando el teorema de Pitágoras.
Los matemáticos griegos consideraban hasta ese momento que todos los números eran racionales. Esta situación paradójica la solventaron considerando los números como segmentos. Esto supuso una quiebra en el desarrollo de la aritmética, pero condujo a que el conjunto de las magnitudes geométricas fuese más completo que el conjunto de los números racionales. Esto supuso la creación de un cálculo general en forma geométrica llamado álgebra geométrica.
Los elementos del álgebra geométrica eran los segmentos de recta. A partir de ellos definieron las operaciones básicas: suma de dos segmentos, diferencia, producto de segmentos (rectángulo de lados los segmentos dados), y el cociente siempre que la longitud del divisor fuese menor que la del dividendo. Estas dos últimas operaciones, producto y cociente, eran equivalentes a la anexión de áreas, dando lugar siglos después a los teoremas de equicomposición de figuras planas.
Nos hemos referido a los elementos y operaciones del álgebra geométrica olvidando las transformaciones y metodología empleada. Hemos de señalar que los únicos útiles empleados en los métodos de construcción del álgebra geométrica fueron la regla y el compás. Se establecían teoremas y ofrecían demostraciones sin referencia alguna al número. La variedad de teoremas que han llegados hasta nuestros días podría hacernos pensar que los matemáticos griegos pasaban de un tema a otro. Sin embargo esto no era así, establecieron dos categorías básicas: rectas y curvas en una y superficies en la otra. En la primera categoría se encuentran entre otras figuras el triángulo y las secciones cónicas: circunferencia, elipse, hipérbola y parábola. En la segunda categoría encontramos el elipsoide, el hiperboloide y el paraboloide, entre otras.
Sin embargo el álgebra geométrica no llegó a convertirse en una teoría matemática general ya que es posible enunciar problemas que no admiten solución utilizando únicamente regla y compás. Algunos de los problemas más conocidos son: la duplicación de un cubo (construir un cubo de doble volumen que otro dado), la trisección del ángulo y la cuadratura del círculo.
El problema de la duplicación del cubo es un claro ejemplo de la contribución y enriquecimiento de las matemáticas. Muchos fueron los matemáticos que abordaron el problema. La influencia de éste en las matemáticas griegas contribuyó a que las secciones cónicas se convirtieran en un método de abordar problemas que podían ser resueltos con regla y compás.
En el siglo IV a. C. Menecmo planteó problemas de intersección de superficies, secciones de un cono circular recto por un plano perpendicular a una generatriz. Aplicó técnicas que no incluían todavía un sistema de coordenadas, pero que de cierta forma estaba implícito en su tratamiento conceptual. Reduce el problema de la duplicación del cubo al problema de la construcción de dos medias proporcionales entre 2 y 1.
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Las secciones cónicas eran conocidas casi dos siglos antes y el interés por estas curvas
aumentaba a medida que se empleaban en la resolución de problemas. Pero un estudio
sistemático y racional no comenzó hasta aproximadamente el primer siglo de la Época
Helenista, en la que sobresalieron por su contribución e importantes logros los
matemáticos Euclides, Arquímedes y Apolonio de Perga. Una de las primeras obras de las que se tiene conocimiento es Libro de los lugares sólidos, de Aristeo, que data de finales del siglo IV a.C. En esta obra las secciones cónicas se obtienen por secciones de cilindros y conos por planos. Por algunos escritos de la época se sabe que Euclides, además de Los Elementos, obra de gran importancia y base de la Geometría clásica, escribió un tratado en cuatro tomos sobre las secciones cónicas de los que lamentablemente no se conservó ejemplar alguno. Todas estas obras quedaron en un segundo plano, pasando algunas al olvido, después de la aparición de las Cónicas de Apolonio, magnífico compendio en ocho volúmenes que recogían todo el saber de la época sobre las secciones cónicas. Después de su aparición ningún otro matemático de la antigüedad realizó esfuerzo alguno por mejorarla. De esta conocida obra tan sólo se han conservado los cuatro primeros de sus ocho libros en el griego original. El matemático árabe Thabit ibn Qurra tradujo los tres siguientes al árabe antes de que desapareciera su versión griega, conservándose esta traducción hasta nuestros días. En 1710, el matemático inglés Edmund Halley publicó la primera traducción al latín de los siete libros conservados, y desde entonces se han sucedido las publicaciones en varias lenguas. Del octavo libro no se tienen muchas referencias. La distribución de contenidos en los ocho libros es la siguiente: |
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| Libro I | Modos de obtención y propiedades fundamentales de las cónicas. Incluye también teoremas sobre el trazado de tangentes. |
| Libro II | Teoría de los ejes principales, las asíntotas y los diámetros conjugados. |
| Libro III | Teoremas sobre las áreas de figuras formadas por secantes, asíntotas y tangentes. Propiedades de los focos. |
| Libro IV | División armónica de rectas. Mayor número de puntos de intersección y de contacto de dos secciones cónicas. |
| Libro V | Se resuelven problemas extremales: segmento de máxima y mínima distancia a las cónicas. Normal, evoluta, centro de curvatura. |
| Libro VI | Análisis del problema de semejanza de las secciones cónicas y la generalización del problema sobre la construcción de una familia de conos que pasan a través de una sección cónica dada. |
| Libro VII | Se investigan las cuestiones relacionadas con las funciones de las longitudes de los diámetros conjugados, parámetros, etc. |
| Libro VIII | Se desconoce su contenido. E Halley trabajando sobre la reconstrucción del texto extraviado interpretó que contendría problemas próximos al material teórico del libro séptimo. |
En su tratado sobre las Cónicas Apolonio utiliza por primera vez una serie de métodos que ofrecen un enorme semejanza con los utilizados en la geometría analítica moderna. Los sistemas de referencia rectangulares u oblicuos a los que tan acostumbrados estamos, aparecen en los escritos de Apolonio como un par de rectas de referencia o bien como la recta tangente a una circunferencia por el extremo de uno de sus diámetros. Las distancias medidas sobre la semirrecta que contiene al diámetro serían las actuales abscisas y los segmentos de recta paralelos a la tangente de extremos el diámetro y un punto de la curva, las ordenadas.
Este procedimiento descrito por Apolonio tenía dos grandes inconvenientes si se compara con la flexibilidad del tratamiento moderno que tienen los sistemas de coordenadas. El primero de ellos es que en el álgebra geométrica griega no existían magnitudes negativas y en segundo lugar, las curvas se obtenían de forma estereométrica, es decir, como una sección de un sólido por un plano.
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En el siglo XIV el matemático parisino Nicole Oresme (1321-1382), obispo de
Lisieux, hizo algunos trabajos utilizando la longitud y la latitud, equivalentes a las
actuales abscisa y ordenada. Pero el avance fundamental no se daría hasta aproximadamente
tres siglos después. El 26 de marzo de 1619 Descartes informa a su amigo el también matemático Beeckman su descubrimiento de la geometría analítica en los siguientes términos “sobre una ciencia enteramente nueva que permitirá obtener la solución general de todos los problemas que pueden ser propuestos a cerca de cualquier clase de cantidades, continuas o discontinuas, cada una de acuerdo con su naturaleza ..., de tal manera que así no quedará nada por descubrir en la geometría”. El contemporáneo de Descartes, Pierre de Fermat (1601-1665), realizaría el mismo descubrimiento de forma completamente independiente, pero no lo hizo público. Fermat, en su Introduction to Loci, estudia ya algunas ecuaciones de primero y segundo grado, con lo que consigue clasificar las rectas y algunas de las cónicas, siempre con la limitación que le imponía el no admitir coordenadas negativas. Descartes no publicaría su nueva ciencia, como él mismo la denominaría, hasta el año 1637, cuando incluyo en su tratado Geometría un capítulo con una exposición de sus ideas y algunas aplicaciones práctica. Demuestra por ejemplo, que las secciones cónicas de Apolonio están todas contenidas en un único conjunto de ecuaciones cuadráticas. Mediante el esquema de Descartes y Fermat, los puntos aparecen como pares de números y las curvas aparecen como colecciones de pares de números representados mediante ecuaciones. Son muchas las cualidades y ventajas de la geometría analítica, pero entre ellas no figura la simplicidad de las demostraciones, comparándolas con algunas de las efectuadas por Euclides. El valor de la geometría analítica radica en la conexión entre el álgebra y la geometría, dos ramas de las matemáticas entre las que se pensaba no existía relación alguna. |
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La geometría pura permaneció olvidada durante 150 años, sin embargo en el siglo XIX y gracias al matemático francés Gaspard Monge (1746 - 1818) la geometría resurgió saliendo del olvido. Monge consiguió reunir un grupo discípulos, entre los que se encontraron L. N. Carnot (1785 - 1823), Charles J. Brianchon (1785 - 1864) y Jean Victor Poncelet (1788 - 1867). Trataron de demostrar con que los métodos geométricos se podían alcanzar mejores resultados que con los métodos algebraicos y analíticos, liberando la geometría de los jeroglíficos del análisis. Retomaron de nuevo la geometría proyectiva, abandonada en el siglo XVII. La célebre geometría de Euclides se basó en las construcciones geométricas realizadas únicamente con el compás y la regla; además ambos instrumentos se consideraban como herramientas equivalentes; era absolutamente indiferente cómo se realizaban las construcciones: con ayuda del compás y la regla, por medio de un compás o de una regla solamente. En 1833 el geómetra suizo Jacobo Steiner publicó el tratado Construcciones geométricas realizadas con ayuda de una línea recta y un círculo fijo. En su obra examina de una forma completamente exahustiva las construcciones hechas con una regla. El resultado fundamental que puede extraerse de esta obre podemos enunciarlo de la siguiente manera: Cada problema de construcción resoluble por medio del compás y la regla, puede solucionarse valiéndose de una sola regla, si en el plano del dibujo se da una circunferencia constante y su centro. En el siglo XIX se estudió por completo el poder constructivo de la regla y el compás, es decir, el círculo de problemas que se solucionan con estos útiles clásicos de las construcciones geométricas. |
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Autor: Antonio Berhó Rodríguez
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Alumno |
| Ministerio de Educación, Cultura y Deporte. Año 2001 | |
| Alumno |
